最优投资组合理论

第四章最优投资组合理论•投资过程的两个重要任务：–证券分析和市场分析：评估所有可能的投资工具的风险和期望回报率特性–在对证券市场进行分析的基础上，投资者确定最优的证券组合：从可行的投资组合中确定最优的风险-回报机会，然后决定最优的证券组合——最优证券组合理论•选择的目标：使得均值-标准差平面上无差异曲线的效用尽可能的大•选择的对象：均值-标准差平面上的可行集–Theoptimizationtechniqueistheeasiestpartoftheportfolioconstructionproblem.Therealarenaofcompetitionamongportfoliomanagersisinsophisticatedsecurityanalysis.•证券组合理论的三个基本原理：–投资者厌恶风险，投资在风险证券需要风险酬金–不同投资者对待证券组合风险-期望回报率的态度不同，以效用函数来刻画–正确衡量一个证券的方式是看它对整个证券组合波动的贡献。•Top-downanalysis–capitalallocationdecision–assetallocationdecision–securityselectiondecision证券组合选择问题•通过分析资本市场，一个中心的事实是，风险资产的回报平均来说高于无风险资产的回报，而且回报越高，风险越大。•Oneinterestingconsequenceofhavingthesetwoconflictingobjectivesisthattheinvestorshoulddiversifybypurchasingnotjustonesecuritybutseveral.•一期投资模型：投资者在期初投资，在期末获得回报。–一期模型是对现实的一种近似，如对零息债券、欧式期权的投资。虽然许多问题不是一期模型，但作为一种简化，对一期模型的分析是分析多期模型的基础。1.一些基本概念•回报率•由于期末的收益是不确定的，所以回报率为随机变量。•价格与回报率之间是一一决定的关系，给定价格，就可算出回报率，反过来，给出了回报率，就可决定价格。•在以下的章节里，通常以回报率为研究对象，并假设，字母（或者字母上加一波浪线）表示随机变量，字母上加一横线表示期望值。•由于违约、通货膨胀、利率风险、再投资风险等不确定因素，证券市场并不存在绝对无风险的证券。•到期日和投资周期相同的国库券视为无风险。•能够进行投资的绝大多数证券是有风险的。•风险–利用回报率的方差或者标准差来度量•期望回报率–利用回报率的期望值来刻画收益率•1.1证券组合的回报率•假设有种可得的不同资产，我们把初始财富分成份，投资到这种资产上，设为投资在第i种资产上的财富,；如果以比例表示，则为，为投资在第i种资产上的财富的份额，，以表示第i种资产的回报率，则到期末,由i产生的收益为或者，从而该证券组合的总收益为•，该证券组合的回报率为n0Wnn0iWniiWW10000WWiii11niiirir1i0W0iWniiiWr101ir1niiirr1•例子：表4-1：计算证券组合的期望回报率–（1）证券和证券组合的值•证券在证券组合每股的初始在证券组合初始•名称中的股数市场价格总投资市场价值中的份额•A10040元4,000元4,000/17,000=0.2325•B20035元7,000元7,000/17,200=0.4070•C10062元6,200元6,200/17,200=0.3605•证券组合的初始市场价值=17,200元总的份额=1.0000–在表4-1（1）中，假设投资者投资的期间为一期，投资的初始财富为17200元，投资者选择A、B、C三种股票进行投资。投资者估计它们的期望回报率分别为16.2%，24.6%，22.8%。这等价于，投资者估计三种股票的期末价格分别为46.48元[因为(46.48-40)/40=16.2%]，43.61元[因为43.61-35/35=24.6%]，76.14元[因为76.14-62/62=22.8%]。证券组合期望回报率有几种计算方式，每种方式得到相同的结果。–（2）利用期末价格计算证券组合的期望回报率•证券在证券组合每股的期末•名称中的股数预期价值总的期末预期价值•A10046.48元46.48元100=4,648元•B20043.61元43.61元200=8,722元•C10076.14元76.14元100=7,614元•证券组合的期末预期价值=20,984元•证券组合的期望回报率=(20,984元-17,200元)/17,200元=22.00%–在表4-1（2）中，先计算证券组合的期末期望价值，再利用计算回报率的公式计算回报率，即，从证券组合的期末期望价值中减去投资的初始财富，然后用去除这个差。尽管这个例子里只有三种证券，但这种方法可以推广到多种证券。–（3）利用证券的期望回报率计算证券组合的期望回报率•证券在证券组合初证券的在证券组合的期望•名称始价值中份额期望收益率回报率所起的作用•A0.232516.2%0.232516.2%=3.77%•B0.407024.6%0.407024.6%=10.01%•C0.360522.850.360522.8%=8.22%•证券组合的期望回报率=22.00%–在表4-1（3）中，把证券组合期望回报率表示成各个股票期望回报率的加权和，这里的权是各种股票在证券组合中的相对价值。–既可以用证券组合中各种证券的数量来表示证券组合，也可以用证券组合中各种证券所占证券组合初始价值的份额来表示证券组合。–在上表中，既可用（100，200，100）来表示该证券组合，也可用（0.2325，0.4070，0.3605）来表示。•1.2证券组合回报率的方差和标准差–方差–标准差22222)(BBABBAAAprVar22222BBBABAAA•例子：对于前面的A，B，C三种证券–这里表示证券和之间的协方差。3131ijijjiPijij–假设A，B，C三种证券的方差-协方差矩阵为–则证券组合的方差为0289.00104.00145.00104.00854.00187.00145.00187.00146.03605.04070.02325.00289.00104.00145.00104.00854.00187.00145.00187.00146.03605.04070.02325.03605.04070.02325.0•证券形成地组合的回报率标准差不大于单个证券回报率标准差的加权平均。•分散化(Diversification)–只要，则两个证券形成地证券组合回报率的标准差小于单个证券回报率标准差的加权平均。•直观解释–只要证券相互之间地相关系数小于1，则证券形成地证券组合回报率的标准差小于单个证券回报率标准差的加权平均。1•两个证券组合回报率之间的协方差–证券组合1：–证券组合2：–证券组合1、2之间的协方差为321,,0289.00104.00145.00104.00854.00187.00145.00187.00146.0321321,,321,,2.假设•所有风险厌恶者的无差异曲线如图1所示，在均值-标准差平面上，为严格增的凸函数，并且，越在西北方向的无差异曲线，其效用越高。2r1r221rr1222111,r22,r2,22121rrr–图1：风险回避者的无差异曲线•3.不具有无风险证券的资本市场中的证券组合选择–假设在无摩擦市场上存在N种可交易风险证券，所有资产回报率的期望和方差均有限且期望互不相等。这N种可交易风险证券的回报率以向量表示，表示期望值向量。而这N种可交易风险证券回报率的协方差矩阵以表示Nrrr~,,~~1Nrrr,,1V22122121211~~,~~,~~,~~~,~~,~~,~~rVarrrCovrrCovrrCovrVarrrCovrrCovrrCovrVarVNNNN–证券组合的期望收益率和方差•给定证券组合–期望回报率–方差–当证券的种类越来越多时，证券组合回报率的方差的大小越来越依赖于证券之间的协方差而不是证券的方差。TN,,,213.1可行集–可行集•由N种可交易风险证券中的任意K种形成的证券组合构成的集合称为可行集。–在均值-标准差平面上来刻画可行集。例子：两种证券形成的可行集–假设证券1的期望回报率，标准差为–；证券2的的期望回报率，标准差为。设由证券1、2形成的证券组合分别有%51r%402%152r21,ABCDEFG11.000.830.670.500.330.170.0020.000.170.330.500.670.831.00%201•证券组合的期望回报率2211rrrp•假设证券1、2收益率的相关系数为，则证券组合回报率的标准差为••每个证券组合回报率的标准差的上、下界–证券组合D：–上界在=1时达到，下界在=-1时达到21222116001600400P21400500D证券组合收益率的标准差的上下界PortfolioLowerBoundUpperBoundA20%20%B10%23.33%C026.67%D10%30%E20%33.33%F30%36.67%G40%40%证券组合收益率的标准差的上下界PPrAG下界上界下界%5%3.8•分散化导致风险缩小。•实际的可行集——一维双曲线例子；=0，-0.1AGPrP=-1=1=0=-0.1可行集的方程•假设=0，由1、2两种证券形成的可行集在均值-标准差平面上的表示。–证券组合的期望回报率–标准差为–通过找出与之间的关系21,2211rrrP222221212PPrP222221212122122PPPrrrrrrrr可行集的方程•得到•为一双曲线1002.004.008.022PPrPrP•最小方差证券组合MVP(minimum-varianceportfolio)21222116001600400P三种以上证券形成的可行集–可行集的两个重要性质•（1）只要N不小于3，可行集对应于均值-标方差平面上的区域为二维的。•（2）可行集的左边向左凸。–可行集PrPABCD三种证券形成可行集的例子•三点形成地区域PPr3.2有效集定理–有效集定理•投资者从满足如下条件的证券组合可行集中选择他的最优证券组合：•（1）对给定的回报，风险水平最小•（2）对给定的风险水平，回报最大；•满足上面两个条件的证券组合集称为有效集。•下面分两步把有效集定理应用到可行集上，得到投资者最优的可投资集。3.3把有效集定理第一条应用到可行集•给定期望回报率，找方差最小的证券组合PrP证券组合前沿PPr•定义：一个证券组合称为前沿证券组合，如果它在所有具有相同期望回报率的证券组合中具有最小方差。•定义：所有前沿证券组合构成的集合称为证券组合前沿。•证券组合前沿的性质–性质1：整个证券组合前沿可以由任何两个前沿证券组合生成。–性质2：前沿证券组合的任何凸组合仍然在证券组合前沿上。1~1~222CDCArECrpp•证券组合前沿的方程–任意前沿证券组合的回报率的期望和标准差满足如下方程：•在期望-标准差平面上的证券组合前沿CAC1•单个证券与证券组合在均值-标准差平面上的位置3.4把有效集定理的第二条应用到证券组合前沿•