伯恩斯坦多项式的性质及其应用

安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第1页共16页Bernstein多项式的性质及其应用作者：张*指导教师：汪**摘要Bernstein多项式的性质在Bézier曲线上的应用更加的广泛，鉴于此，必须先给出Bernstein多项式的性质，然后再得出Bézier曲线的性质和应用。在工程应用领域，从设计要求出发，人们希望使用某种逼近方法，而非传统的插值方法，该法能模仿曲线、曲面的设计过程，又便于设计者使用。Bézier于1962年提出了以逼近为基础的曲线曲面设计系统，名为UNISURF,随后，Forrest,Gordon和Riesenfeld等对Bézier方法作了深入研究，揭示了Bézier方法与Bernstein多项式的联系，从而使其具有更坚实的理论基础。本文旨在介绍Bernstein多项式，给出其性质，结合Bézier曲线的性质，得出Bernstein多项式在Bézier曲线上的应用。关键词Bernstein多项式Bézier曲线逼近1引言用多项式一致逼近连续函数是函数逼近论中的重要结果，在科学与工程中有广泛的应用。而Bernstein多项式是不可缺少的重要工具。1.1Bernstein多项式定义：设f是[0,1]上的函数,n,约定001.称[0,1]上的多项式函数0()()()()(1)nnkknnknkBfxBfxfxxkn；为f的第n个Bernstein多项式.应当将nB视为一个映射,它把[0,1]上的函数映为[0,1]上的多项式函数.称nB为第n个Bernstein算子.命题若,fg是[0,1]上的函数,,是常数,I是[0,1]上的恒等映射,则(1)()nBf的次数n；(2)()()()nnnBfgBfBg；(线性性质)(3)()nBII.证明:(1),(2)显然成立,故只需证(3).安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第2页共16页0(1)()(1)[(1)]1nnkknnknBxxxxxk,这说明(1)1nB.0()()(1)nnkknknkBIxxxkn1(1)111(1)1nnkkknxxxk1101(1)nnjjjnxxxj1[(1)]nxxxx,这说明()nBII.再由(1),(2)便得到()()(1)nnnBIBIBI.□引理设f是[0,1]上的函数.若引入[0,1]上的辅助函数()x111nnnfxfxnnn,则它们的Bernstein多项式之间满足关系1()()()()nnBfxBx.证:11!()()()(1)(1)!()!nnkknkknBfxfxxnknk110!()(1)!(1)!nnkkkknfxxnknk1101!()(1)!(1)!nnjjjjnfxxnjnj110!()(1)!(1)!nnjjjjnfxxnjnj1101!()()(1)!(1)!nnjjjjjnffxxnnjnj1101(1)!()()(1)!(1)!nnjjjjjnnffxxnnjnj11101()(1)()()1nnjjnjnjxxBxjn.□1.2定理(Bernstein多项式的逼近性质)安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第3页共16页设f是[0,1]上的连续函数(或1C函数).那么,0,N使得当nN时,[0,1]x都成立()()()nBfxfx(或()()()nBfxfx).证:(1)记01max()xMfx.0,取0,使得当,[0,1],xyxy时成立()()2fxfy；再取N,使得当nN时成立2Mn.于是,当nN时,[0,1]x都成立0()()()()()(1)nnkknknkBfxfxffxxxkn()()(1)()()(1)nkknkkkkxxnnnnkkffxxxffxxxkknn2222(1)()(1)2nkknkkkkxxnnnnMxxknxxxkkn202()(1)2nnkkknknxxxkn.对以t为自变量的函数()0(1)(1)nnktknxnxttnknxeexek求2阶导数,由Leibniz公式得到2()0()(1)nnktknxknknxxek222(1)1(1)2(1)nxttnnxttnnxexenxexe(1)1(2)2(1)(1)(1)nxttnnxttnnexennexe,或20()(1)nnktkknknxxek2221(1)2(1)tnttnnxxenxexe122(1)(1)(1)ttnttnnexennexe.安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第4页共16页令lntx便得到20()(1)nnkkknknxxxk222(1)nxnxnnx[1(1)]nxnxnx(1)4nnxx.于是,()()()nBfxfx22422nn.(2).为了估计()()()nBfxfx,只需估计出1()()()()nnBfxBfx和1()()()nBfxfx即可.记111()nnxnfxfxnnn,由引理得到1()()()()nnBfxBx1101()()1(1)1nnjjjjjffnnnxxjn.1101()(1)nnjjjjnfxxj,1jjjnn(0,1,,1jn).故1()()()()nnBfxBfx1101()()(1)1nnjjjjnjffxxjn.0,取0,使得当,[0,1]xy,xy时成立()()2fxfy；再取N满足1N,则当nN时,便有11jjnnn1jjn111jjnnn,故0,1,j,1n,成立()()12jjffn.于是,当nN时,[0,1]x都成立1()()()()nnBfxBfx1101(1)22nnjjjnxxj.安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第5页共16页如果取N更大一些,还可使得当nN时,[0,1]x都成立1()()()2nBfxfx.于是,()()()nBfxfx11()()()()()()()nnnBfxBfxBfxfx22.□2下面介绍给出Bézier曲线的定义、性质及其应用2．1Bézier曲线定义0()()nknkPxPBx，01x。kP构成该曲线的特征多边形，()nBx0()(1)nnkkknkfxxkn是Bernstein多项式2.2Bézier曲线的类型线性Bézier曲线给定点01PP、，线性Bézier曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：01001()()(1),[0,1]BxPPPxxPxPx且其等同于线性插值二次方Bézier曲线二次方Bézier曲线的路径由给定点012PPP、、的函数Bx追踪：22012(1)21,0,1BxxPxxPxPxTrueType字型就运用了以Bézier样条组成的二次Bézier曲线。三次方Bézier曲线012PPP、、、3P四个点在平面或在三维空间中定义了三次方Bézier曲线。曲线起始于0P走向1P，并从2P的方向来到3P。一般不会经过1P或P；这两个点只是在那里提供方向资讯。0P和1P之间的间距，决定了曲线在转而趋进3P之前，走向2P方向的“长度有多长”。曲线的参数形式为：232330120(1)3131,0,1BxPxPxxPxxPxx安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第6页共16页现代的成象系统，如PostScript、Asymptote和Metafont，运用了以Bézier样条组成的三次Bézier曲线，用来描绘曲线轮廓。一般化n阶Bézier曲线可如下推断。给定点01nPPP、、、，Bézier曲线即110011011011111,0,1011nninninninninnnnnBxPxxPxxPxxPxxPxxxinn例如5n:5432234501234515110110151BtPtPttPttPttPttPt,0,1t。如上公式可如下递归表达：用01nPPPBx表示由点01nPPP、、、所决定的Bézier曲线。则01011011nnnPPPPPPPPPBxBxxBxxBx，为n阶的Bézier曲线，即双1n阶Bézier曲线之间的插值。线性Bézier曲线函数中的x会经过由0P至1P的Bx所描述的曲线。例如当x=0.25时，Bx即一条由点0P至1P路径的四分之一处。就像由0至1的连续x，Bx描述一条由0P至1P的直线。（线性Bézier曲线的结构）二次曲线为建构二次Bézier曲线，可以中介点0Q和1Q作为由0至1的x：由0P至1P的连续点0Q，描述一条线性Bézier曲线。由1P至2P的连续点1Q，描述一条线性Bézier曲线。由0Q至1Q的连续点Bt，描述一条二次Bézier曲线。安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第7页共16页(二次Bézier曲线的结构)高阶曲线为建构高阶曲线，便需要相应更多的中介点。对于三次曲线，可由线性Bézier曲线描述的中介点012QQQ、、，和由二次曲线描述的点0R、1R所建构(三次Bézier曲线的结构)对于四次曲线，可由线性Bézier曲线描述的中介点0123QQQQ、、、，由二次Bézier曲线描述的点012RRR、、，和由三次Bézier曲线描述的点01SS、所建构：(四次Bézier曲线的结构)设0P、1P、2P是一条抛物线上顺序三个不同的点。过0P和2P点的两切线交于1P点，在P点的切线交01PP和21PP于Q和R，则抛物线的三切线定理是0112PQPRQPQPQRRP安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文第8页共16页当0P和2P固定，引入参数x，令上述比值为0112:1,1,R11xxQxPxPxPxPPxQxR，,当x从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边，它们是两条一次Bézier曲线。将一、二式代入第三式得：22012121xPxxPxP,当x从0变到1时，它表示了由三顶点0P、1P、2P三点定义的一条二次Bezier曲线。并且表明：这二次Bezier曲线P0,2可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的