2015年高三文科复习——统计与统计案例：【考点1】随机抽样(解析版)

1统计与统计案例【考点1：随机抽样】[归纳·知识整合]1.简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地_抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和_随机数法.特点：(1)抽取方式：不放回抽取;(2)每个个体被抽到的概率相等;(3)常用方法：抽签法和随机数法.[探究]1.简单随机抽样有什么特点？提示：(1)被抽取样本的总体个数N是有限的;(2)样本是从总体中逐个抽取的;(3)是一种不放回抽样;(4)是等可能的抽取.2.系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.(1)先将总体的N个个体编号;(2)确定分段间隔k,对编号进行分段.当Nn(n是样本容量)是整数时,取k＝Nn;(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k);(4)按照一定的规则抽取样本,通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l＋k,再加k得到第3个个体编号l＋2k,依次进行下去,直到获取整个样本.[探究]2.系统抽样有什么特点？提示：适用于元素个数很多且均衡的总体;各个个体被抽到的机会均等;总体分组后,在起始部分抽样时,采用简单随机抽样.3.分层抽样(1)定义：在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样.(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.[探究]3.分层抽样有什么特点？提示：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况;分层后,在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样.[题型剖析]题型1：简单随机抽样【典型例题】1.为了支援我国西部教育事业,决定从2011级学生报名的30名志愿者中,选取10人组成志愿小组,请用抽签法和随机数表法设计抽样方案.[自主解答]抽签法：第一步：将30名志愿者编号,编号为1,2,3,…,30.第二步：将30个号码分别写在30张外观完全相同的纸条上,并揉成团,制成号签.第三步：将30个号签放入一个不透明的盒子中,充分搅匀.第四步：从盒子中逐个抽取10个号签,并记录上面的编号.第五步：所得号码对应的志愿者,就是志愿小组的成员.随机数法：第一步：将30名志愿者编号,编号为01,02,03,…,30.第二步：在随机数表中任选一数开始,按某一确定方向读数.第三步：凡不在01～30中的数或已读过的数,都跳过去不作记录,依次记录下10个得数.第四步：找出号码与记录的数相同的志愿者组成志愿小组.2.今用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本.问：(1)总体中的某一个体a在第一次抽取时被抽到的概率是多少？(2)个体a不是在第一次被抽到,而是在第二次被抽到的概率是多少？2(3)在整个抽样过程中,个体a被抽到的概率是多少？解：①用简单随机抽样,从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本,每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为1N;在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为nN;②抽签有先后,但概率都是相同的.故(1)16;(2)16;(3)13.【变式训练】1.大、中、小三个盒子中分别装有同一种产品120个、60个、20个,现在需从这三个盒子中抽取一个样本容量为25的样本,较为恰当的抽样方法为________________.答案：简单随机抽样2.下列抽取样本的方式是简单随机抽样的有()①从无限多个个体中抽取50个个体作为样本;②箱子里有100支铅笔,今从中选取10支进行检验.在抽样操作时,从中任意拿出一支检测后再放回箱子里;③从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本.A.0个B.1个C.2个D.3个解析：选A①不满足样本的总体数较少的特点;②不满足不放回抽取的特点;③不满足逐个抽取的特点.3.利用简单随机抽样,从n个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为13,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为()A.13B.514C.14D.1027解析：选B由题意知9n－1＝13,解得n＝28.故P＝1028＝514.题型2：系统抽样【典型例题】1.为规范学校办学,省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知7号、33号、46号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应是()A.13B.19C.20D.51解析：选C由系统抽样的原理知抽样的间隔为524＝13,故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3,从而可知选C.2.(2012·山东高考)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷B的人数为()A.7B.9C.10D.15[自主解答]第n个抽到的编号为9＋(n－1)×30＝30n－21,由题意得451≤30n－21≤750,解得151115≤n≤25710.又n∈Z,故满足条件的共有10个.[答案]C3.一个总体中有100个个体,随机编号为0,1,2,…,99,依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为1,2,3,…,10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规定如果在第1组随机抽取的号码为m,那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同.若m＝6,则在第7组中抽取的号码是________.[答案]63【变式训练】1.为了调查某产品的销售情况,销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况.若用系统抽样法,则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为()A.3,2B.2,3C.2,30D.30,2[答案]A2.用系统抽样法(按等距离的规则),要从160名学生中抽取容量为20的样本,将160名学生从1～160编号.按编号顺序平均分成20组(1～8号,9～16号,…,153～160号),若第16组应抽出的号码为125,则第一组中按此抽签方法确定的号码是()A.7B.5C.4D.3答案：B3.800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查.现将800名学生从1到800进行编号,求得间隔数k＝80050＝16,即每316人抽取一个人.在1～16中随机抽取一个数,如果抽到的是7,则从33～48这16个数中应取的数是()A.40B.39C.38D.37解析：选B按系统抽样分组,33～48这16个数属第3组,则这一组应抽到的数是7＋2×16＝39.4.将参加夏令营的600名学生编号为：001,002,…,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数依次为________.解析：依题意及系统抽样的意义可知,将这600名学生按编号依次分成50组,每一组各有12名学生,第k(k∈N*)组抽中的号码为3＋12(k－1).令3＋12(k－1)≤300得k≤1034,因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25,令3003＋12(k－1)≤495,得1034k≤42,因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.故第Ⅲ营区被抽中的人数是50－25－17＝8.答案：25,17,85.(2013陕西)某单位有840名职工,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为()A.11B.12C.13D.14【答案】B题型3：分层抽样【典型例题】1.(2012·天津高考)某地区有小学150所,中学75所,大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取____________所学校,中学中抽取____________所学校.解析：从小学中抽取30×150150＋75＋25＝18所学校;从中学中抽取30×75150＋75＋25＝9所学校.答案：1892.(2012·江苏高考)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3∶3∶4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取________名学生.[解析]由题意得高二年级的学生人数占该学校高中人数的310,利用分层抽样的有关知识得应从高二年级抽取50×310＝15名学生.[答案]153.某学校共有教职工900人,分成三个批次进行教育培训,在三个批次中男、女教职工人数如下表所示.已知在全体教职工中随机抽取1名,抽到第二批次中女教职工的概率是0.16.第一批次第二批次第三批次女教职工196xy男教职工204156z(1)求x的值;(2)现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查,问应在第三批次中抽取教职工多少名？[自主解答](1)由x900＝0.16,解得x＝144.(2)第三批次的人数为y＋z＝900－(196＋204＋144＋156)＝200,设应在第三批次中抽取m名,则m200＝54900,解得m＝12.故应在第三批次中抽取12名教职工.4.(1)某学校为了了解2011年高考数学学科的考试成绩,在高考后对1200名学生进行抽样调查,其中文科400名考生,理科600名考生,艺术和体育类考生共200名,从中抽取120名考生作为样本.(2)从10名家长中抽取3名参加座谈会.Ⅰ.简单随机抽样法Ⅱ.系统抽样法Ⅲ.分层抽样法.问题与方法配对正确的是()A.(1)Ⅲ,(2)ⅠB.(1)Ⅰ,(2)ⅡC.(1)Ⅱ,(2)ⅢD.(1)Ⅲ,(2)Ⅱ[答案]A5.从2006名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2006人中剔除6人,剩下的2000人再按照系统抽样的方法进行,则每人入选的概率()A.不全相等B.均不相等C.都相等,且为251003D.都相等,且为1404解析：选C抽样过程中每个个体被抽取的机会均等,概率相等,剔除后的抽取过程与从2006人中抽取50人,每人入选的概率相同,其概率为502006＝251003.【变式训练】1.(2012·湖北高考)一支田径运动队有男运动员56人,女运动员42人.现用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的男运动员有8人,则抽取的女运动员有________人.解析：分层抽样的特点是按照各层占总体的比抽取样本,设抽取的女运动员有x人,则x8＝4256,解得x＝6.答案：62.(2013·温州模拟)某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,产品数量之比为3∶4∶7,现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本,样本中A型号产品有15件,那么样本容量n为()A.50B.60C.70D.80解析：选C由分层抽样的方法得33＋4＋7×n＝15,解得n＝70.3.某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7,从中抽取200名职员作为样本,若每人被抽到的概率为0.2,则该单位青年职员的人数为________.解析：总人数为2000.2＝1000,该单位青年职员的人数为1000×1025＝400.答案：4004.要完成下列两项调查：①从某肉联厂的火腿肠生产线上抽取1000根火腿肠进行“瘦肉精”检测;②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况.适合采用的抽样方法依次为()A.①用分层抽样,②用简单随机抽样B.①用系统抽样,②用简单随机抽样C.①②都用系统抽样D.①②都用简单随机抽样答案B解析①中总体容量较大,且火腿肠之间没有明显差异,故适合采用系统抽样;②中总体容量偏小,故适合采用简单随机抽样.5.在抽样过程中,每次抽取的个体不再放回总体的为不放回抽样,在分层抽样、系统抽样、简单随机抽样三种抽样中,不放回抽样有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析：选D三