高一精英班国庆课程集合总复习(全)(康)

1集合的含义1．集合的含义：构成一个集合.注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述.（2）集合是一个“整体.（3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的.2．集合中的元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素.简称元.集合一般用大写拉丁字母表示，如集合A,元素一般用小写拉丁字母表示.如a,b,c……等.思考:构成集合的元素是不是只能是数或点？【答】3．集合中元素的特性：（1）确定性.设A是一个给定的集合，x是某一元素，则x是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.（2）互异性.对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.（3）无序性.集合与其中元素的排列次序无关.4．常用数集及其记法：一般地，自然数集记作____________，正整数集记作__________或___________，整数集记作________，有理数记作_______，实数集记作________.5．元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就记作__________，读作“___________________”；如果a不是集合A的元素，就记作______或______读作“_______________”；6．集合的分类：按它的元素个数多少来分：（i）_________________叫做有限集；（ii）________________________叫做无限集；（iii）_______________叫做空集，记为_____________.【精典范例】一、运用集合中元素的特性来解决问题例1．下列研究的对象能否构成集合（1）世界上最高的山峰（2）高一数学课本中的难题（3）中国国旗的颜色（4）充分小的负数的全体（5）book中的字母（6）立方等于本身的实数（7）不等式2x-813的正整数解【解】2点评:判断一组对象能否组成集合关键是能否找到一个明确的标准，按照这个确定的标准，它要么是这个集合的元素，要么不是这个集合的元素，即元素确定性.例2：集合M中的元素为1，x，x2-x，求x的范围？分析：根据集合中的元素互异性可知：集合里的元素各不相同，联列不等式组.点评:元素的特性（特别是互异性）是解决问题的切入点.例3：三个元素的集合1，a，ba，也可表示为0，a2，a+b，求a2005+b2006的值．分析：三个元素的集合也可表示另外一种形式，说明这两个集合相同，而该题目从特殊元素0入手，可以省去繁琐的讨论．点评:从特殊元素入手，灵活运用集合的三个特征．二、运用元素与集合的关系来解决一些问题例4：集合A中的元素由x=a+b2(a∈Z,b∈Z)组成，判断下列元素与集合A的关系？（1）0（2）121（3）132分析：先把x写成a+b2的形式，再观察a，b是否为整数.点评:要判断某个元素是否是某个集合的元素，就是看这个元素是否满足该集合的特性或具体表达形式.集合的表示1.集合的常用表示方法：（1）列举法将集合的元素一一列举出来，并____________________表示集合的方法叫列举法.注意：①元素与元素之间必须用“，”隔开；②集合的元素必须是明确的；③各元素的出现无顺序；④集合里的元素不能重复；⑤集合里的元素可以表示任何事物.3（2）描述法将集合的所有元素都具有性质（）表示出来，写成_________的形式,称之为描述法.注意：①写清楚该集合中元素满足性质；②不能出现未被说明的字母；③多层描述时，应当准确使用“或”，“且”；④所有描述的内容都要写在集合的括号内；⑤用于描述的语句力求简明，准确.文字描述法：是一种特殊的描述法，如：{正整数}，{三角形}图示法（Venn图）：用平面上封闭曲线的内部代集合.2.集合相等如果两个集合A，B所含的元素完全相同，则称这两个集合相等，记为：_____________【精典范例】一、用集合的两种常用方法具体地表示集合例1．用列举法表示下列集合：（1）中国国旗的颜色的集合；（2）单词mathematics中的字母的集合；（3）自然数中不大于10的质数的集合；（4）同时满足240121xxx的整数解的集合；（5）由||||(,)ababRab所确定的实数集合.（6）{(x,y)|3x+2y=16，x∈N，y∈N}分析：先求出集合的元素，再用列举法表示.点评:（1）用列举法表示集合的步骤为：①求出集合中的元素,②把这些元素写在花括号内.（2）用列举法表示集合的优点是元素一目了然；缺点是不易看出元素所具有的属性.例2．用描述法表示下列集合：（1）所有被3整除的整数的集合；（2）使2xyx有意义的x的集合；（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；分析：用描述法表示来集合，先要弄清楚元素所具有的形式，从而写出其代表元素再确定元素所具有的属性即可.点评:用描述法表示集合时，注意确定和简化集合的元素所具有的共同特性.4例3．已知A={a|6,3NaZa}，试用列举法表示集合A．分析：用列举法表示的集合，要认清集合的实质，集合中的元素究竟满足哪些条件．点评:本题实际上是要求满足6被3-a整除的整数a的值，若将题目改为63Za，则集合A={-3，0，1，2，4，5，6，9}.二、有关集合相等方面的问题例4．已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a2,b2}，且Q=P，求1+a2+b2的值．分析：含字母的两个集合相等，并不意味着按序对应相等，要分类讨论，同时也要考虑集合中的元素的互异性和无序性.补充练习：1．已知集合M={a，a+d，a+2d}，N={a，aq，aq2}，其中a≠0，M=N，求q的值．2．集合A={x|x=a+b2，a、b∈Z}，x1∈A，x2∈A，求证：x1x2∈A3．下面三个集合：①{x|y=x2+3x-2}，②{y|y=x2+3x-2}，③{(x,y)|y=x2+3x-2}．（1）它们是不是相同的集合？（2）它们的区别在哪里？5子集、全集、补集1．子集的概念及记法：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（），则称集合A为集合B的子集,记为___________或___________读作“__________”或“___________”用符号语言可表示为：_________________________________注意：（1）A是B的子集的含义：任意x∈A，能推出x∈B；（2）不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.2．子集的性质：①AA②A③,ABBC,则AC3．真子集的概念及记法：如果AB，并且A≠B，这时集合A称为集合B的真子集,记为________或_________读作“____________________”或“__________________”4．真子集的性质：①是任何非空集合的真子集符号表示为___________________②真子集具备传递性符号表示为___________________5．全集的概念：如果集合U包含我们所要研究的各个集合，这时U可以看做一个全集全集通常记作_____6．补集的概念：设____________，由U中不属于A的所有元素组成的集合称为U的子集A的补集,记为___________读作“__________________________”即：UCA=_______________________7．补集的性质：①UC=___________,②UCU=_____________,③()UUCCA=______________.【精典范例】一、写出一个集合的子集、真子集及其个数公式例1．①写出集合{a，b}的所有子集及其真子集；②写出集合{a，b，c}的所有子集及其真子集；分析：按子集的元素的多少分别写出所有子集，这样才能达到不重复，无遗漏，但应注意两个特殊的子集：和本身．点评:写子集，真子集要按一定顺序来写．①一个集合里有n个元素，那么它有2n个子集；②一个集合里有n个元素，那么它有2n-1个真子集；③一个集合里有n个元素，那么它有2n-2个非空真子集．6二、判断元素与集合之间、集合与集合之间的关系例2：以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来．（1）a与{a}0与（2）与{20，35，2，}（3）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，B={-2，2}；（4）S=R，A={x|x≤0，x∈R}，B={x|x0，x∈R}；（5）S={x|x为地球人}，A={x|x为中国人}，B={x|x为外国人}点评:①判断两个集合的包含关系，主要是根据集合的子集，真子集的概念，看两个集合里的元素的关系，是包含，真包含，相等．②元素与集合之间用_______________,集合与集合之间用_______________三、运用子集的性质例3：设集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，x∈R}，若BA，求实数a的取值范围．分析：首先要弄清集合A中含有哪些元素，在由BA，可知，集合B按元素的多少分类讨论即可．点评:B=易被忽视，要提防这一点．四、补集的求法例4：①方程组210360xx的解集为A，U=R，试求A及uCA．②设全集U=R，A={x|x1}，B={x|x+a0}，B是RCA的真子集，求实数a的取值范围．点评:求集合的补集时通常借助于数轴，比较形象，直观．补充练习：11．已知集合P={x|x2+x-6=0}，M={x|mx-1=0}，若MP，求实数a的取值范围．7集合的运算--交集1．交集的定义：一般地，，称为A与B交集，记作______________读作“___________”.交集的定义用符号语言表示为:_________________________注意：（1）交集（A∩B）实质上是A与B的公共元素所组成的集合.（2）当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B=.2．交集的常用性质：（1）A∩A=A；（2）A∩=；（3）A∩B=B∩A；（4）(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；（5）A∩BA，A∩BB3．集合的交集与子集：A∩B=AAB【精典范例】一、求已知两个集合的交集例1．（1）设A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}，求A∩B；（2）设A={x|x0}，B={x|x≤1}，求A∩B；（3）设A={x|x=3k，k∈Z}，B={y|y=3k+1k∈Z}，C={z|z=3k+2，k∈Z}，D={x|x=6k+1，k∈Z}，求A∩B；A∩C；C∩B；D∩B；点评:不等式的集合求交集时，运用数轴比较直观，形象.例2：已知数集A={a2，a+1，-3}，数集B={a-3,a-2，a2+1}，若A∩B={-3}，求a的值．点评:在集合的运算中，求有关字母的值时，要注意分类讨论及验证集合的特性．8例3：（1）设集合A={y|y=x2-2x+3，x∈R}，B={y|y=-x2+2x+10，x∈R}，求A∩B；（2）设集合A={(x,y)|y=x+1，x∈R}，B={(x,y)|y=-x2+2x+34，x∈R}，求A∩B；分析：先求出两个集合的元素，或者集合中元素的范围，再进行交集运算．特别注意（1）、（2）两题的区别，这是同学们容易忽视的地方．点评:求集合的交集时，注意集合的实质，是点集还时数集．是数集求元素的公共部分，是点集的求方程组的解所组成的集合．二、运用交集的性质解题例4：已知集合A={2，5}，B={x|x2+px+q=0，x∈R}（1）若B={5}，求p，q的值．（2）若A∩B=B，求实数p，q满足的条件．分析：（1）由B={5}，知：方程x2+px+q=0有两个相等，再用一元二次方程的根与系数的关系容易求p，q的值．（2）由A∩B=B可知：BA，而A={2，5}从而顺利地求出实数p，q满足的条件．点评:利用性质：A∩B=AAB是解题的关键，提防掉进空集这一陷阱之中．三、借助Venn图解决集合的运算问题例5：已知全集U={不大于20的质数}，M,N