一维多阶梯势垒的透射系数

1一维多阶梯势垒的透射系数甘肃省西和县何坝职校胡来喜742105对于一般势垒，求解透射系数往往比方势垒复杂。应用W.K.B半经典近似法[1]可以精确推导出一般势垒的透射系数[1-3]，只是在推导过程中要用到比较高深的数学知识。于是，有些文章将一般势垒分成多个宽度为ix的小方势垒，组成一维多阶梯势垒，并有应用鲁阿德（Rouard）递推方法[4]和一维阶梯位势递推关系[5]分别得出一维多阶梯势垒透射系数的递推公式，这两种递推公式对于少数阶梯势垒很适用，但在阶梯势垒过多时要借助于计算机程序[6]才能完成。本文在参照了教科书[7]中求解方势垒透射系数方法的基础上，以连续函数势垒作为一般势垒的一个特例，将连续函数势垒分割成多个宽度为x的矩形势垒，如图1，对其过程应用相关数学处理，得出推导一维多阶梯势垒透射系数，再应用极限方法使阶梯势垒回归到连续函数势垒，推导出连续函数势垒的透射系数。最后，对推导过程中用到的近似处理进行了误差讨论，比较严密地证明了教科书[7,8]中关于势垒透射系数的结论。1一维多阶梯势垒透射系数如图1所示，一般势垒U(x)的定态薛定谔方程为：U（x）x1x2xE图1x2222dψ+Kxψx=0dx，x（1）式中22EUxKxћ（2）令kxKx（3）把粒子经过的区域分成n个小区域，每个小区域的U(x)近似为常数，成为“阶梯势垒”，从而每个区域的K(x)也近似为常数（图2）。由（1）式解出的各区域的波函数具有相同形式，如第j区域和第n区域为：jjjjiKxiKxjjjxAeBe，j=0,1,…，n-1（4）nniKxnnxAe（5）得到入射波的几率流密度为：0000**02iћJ入入入入0200ћkx入002000iKxћkAe（6）透射波的几率流密度为：**2nnnDniћJn2nnnћkx2nniKxnnnћkAe(7)入射粒子从左到右经势垒后的透射系数为：1jkjk1jkK(x)x图230022000nniKxnnnDiKxћkAeJDћkJAe（8）其中0n[5]。若令2jjiKxjjjIkAe，j=0,1,…,n则(8)式可写为：312001211jnnjnIIIIIIDIIIIII……（9）式中任一项的0jI。可以看出，引入很多jI相乘除，D值不变，只是一种数学处理。应用该处理是因为求相邻区域的1jjII比较容易，从而容易求出D。避开其中任一区域，即去掉其中一项jI，只要能求出11jjII，并不影响求D的值。所以，K=0的区域是可以避开的。又令1jjjIDI，j=1,2,…,n即11112221111jjjjjjjjiKxjjiKxKxjjjiKxjjjjkAekADekAkAe(10)则1njjDD(11)1.10jK，且左邻域10jK的第j区域的jD由波函数及其微商在1jx点的连续条件得到：111jjjjxxxx得11111111jjjjjjjjiKxiKxiKxiKxjjjjAeBeAeBe（12）4111jjjjxxxxdddxdx得1111111111jjjjjjjjiKxiKxiKxiKxjjjjjjjjkAekBekAekBe（13）由111213jjjkkk得：1111111112jjjjjjiKxiKxiKxjjjjjjjjjjkkkAeAeBekkkk（14）（14）式有三个未知量1jA、jA、jB，由于K（x）是连续的，可以把区域取的很窄，使1111jjjjjjjkkkkkkk（15）则（14）式中含jB的项可以忽略，得到：111112jjjiKKxjjjjjAkeAkk（16）代入（10）式，并令1jjxxx，得：21214jjiKxjjjjjkkDekk（17）而2211122114jjjjjjjjjjkkkkkkkkkk121111jjjkkkjjjkkk所以221‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎,‎‎,jjjjiKxjkxEUxDeeEUx（18）xK(x)rktkqxrxsxtx图351.20tK，而左邻域0sK的第t区域的tD设rx、sx、tx三区域相邻（图3），由0sK得(sssxABC常数），则0sx。由波函数的连续性，在rx、sx点有：rx点：0rrrrrrrriKxiKxrriKxiKxrrAeBeCAeBe和sx点：0tstststsiKxiKxttiKxiKxttCAeBeAeBe解上面两个方程组得：22rrtsiKxriKxtCAeCAe则rrtsikxkxtrAeA（19）将（19）式代入（10）式，因K(x)连续，故可取rtKK，得：ttrsttsiKxKxiKxxtttrrkADeekA即221‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎,‎‎,ttttiKxtkxEUxDeeEUx（20）将（18）、（20）式代入（11）式，得：12njjjkxDe（21）该式即为服从连续函数的多阶梯势垒的透射系数。其中，EUx时，粒子很容易穿过势垒，透射系数近似为1，这个结果是与事实相符的。2连续函数势垒的透射系数当多阶梯势垒的宽度jx无限小（jx→0）时，多阶梯势垒回归到一般势垒，而1()2jkkxUxEћ，211112nnxjjjjxjjkxkxUxEdxћ，6于是（21）式可写成212exp2xxDUxEdxћ（22）上式就是连续函数势垒的透射系数，常数因子0D=1。其中1x，2x称为经典回转点，即12()()UxUxE。对于一般势垒，可推得除常数因子01D外，透射系数与（22）式完全一致[8]2102exp2xxDDUxEdxћ（23）3结果讨论在推导过程中用到一处近似处理，即忽略了（14）式含jB的项，0x时，0jD，,0nk区域的个数并不增加，故误差不能忽略（虽然每个小区域的误差减小了，但这种小区域的个数n）。由于做了近似计算，首先给（16）式的1jjAA带来误差，从而jD、D也有误差。设与它们对应的准确值为AAjj-1、jD、D，又设1jjAA的相对误差为j。则0jx时，0j。由111jjjjjjjAAAAAA（24）得1111jjjjjAAAA（25）7所以21jjjDD（26）略去二次项，得到12jjjDD（27）即1111212nnjjnjjjjiDDDD（28）显然，121njj是透射系数公式（21）成立的条件。相对误差j是由于10jjjkkk产生的，1jjjkkk越大，j就越大，作为一级近似，有：1jjjjkkk（29）于是令：1jjjjkkk式中是比例常数（实数）。设0k区域有两个，取它们两侧邻域的k值相等，即rtrtkkkk。粒子从势垒外进入势垒，再穿出势垒，有0nkk，得到r0t't'rtjkkkkkk0kn1i1jjjn1ijkdkkdkkdkkkk2δ200ln0lnln0nnrrttkkkkkkkk（30）0δ20kn1ijj表明：尽管各小区域的误差不可忽略，但总的误差却可以忽略。这是因为：两边EUx区域的jk符号不同，EUx区域的jk符号也不同，8所引起的误差一部分为正，一部分为负，正负相互抵消。综上所述，粒子穿过服从连续函数的多阶梯势垒后，透射系数由（21）式确定。当粒子穿过一般势垒后，其透射系数由（23）式准确得到，总误差可忽略不计，而不要任何附加条件。参考文献：[1]张启仁.量子力学[M].北京:科学出版社,2002.18~22,89~92.[2]周世勋.量子力学[M].上海:上海科学出版社,1961.209~218.[3]曾谨言.量子力学[M].北京:科学出版社,1981.475~491.[4]龙超云,刘波.一维多阶梯势垒的反射系数[J].大学物理,1999,18(10):7~9.[5]井孝功,张井波.高等量子力学导论[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2006.103~106.[6]井孝功,赵永芳等.一维位势透射系数的计算与谐振隧穿现象的研究[J].计算物理,2000,16(6):12~16.[7]周世勋.量子力学教程[M].北京:人民教育出版社,1979.44~50.[8]钱伯初.量子力学[M].北京:高等教育出版社,2006.58~62.