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1三角函数及三角恒等变换一:知识回顾知识点1:任意角正角:按逆时针旋转形成的角;负角:按顺时针旋转形成的角;零角:不旋转的角;知识点2:终边相同的角所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集}Z,360|{kkS知识点3:象限角第一象限角36036090,kkk第二象限角36090360180,kkk第三象限角360180360270,kkk第四象限角360270360360,kkk终边在x轴上的角180,kk终边在y轴上的角18090,kk终边在坐标轴上的角90,kk知识点4:弧度制我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角;用弧度来度量角的单位制叫做弧度制。在弧度制下,1弧度记做1rad.①角度与弧度之间的转换:1)将角度化为弧度:2360;180;rad01745.01801;radnn180.2)将弧度化为角度:3602;180;815730.57)180(1rad;)180(nn.②把象限角和轴线角用弧度表示.③;rl弧长公式:④.21lRS扇形面积公式:知识点5:任意角的三角函数①它与原点的距,的坐标是其终边上任意一点是一个任意大小的角,设),(yxP2.022yxr离是;sin,sin,)1ryry即记作的正弦叫做比值;cos,cos,)2rxrx即记作的余弦叫做比值;tan,tan,)3xyxy即记作的正切叫做比值知识点6:三角函数值的符号规律:sincostan备注:三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正.知识点7:同角三角函数的基本关系:221sincos12222sin1cos,cos1sin;sin2tancossinsintancos,costan.倒数关系:1cottan平方关系:1cossin22商数关系:sincoscotcossintan知识点8:诱导公式cos2sinπsin2cosπcot2tanπcos2sinπsin2cosπcot2tanπsinsinπcoscosπtantanπsinsinπcoscosπtantanπ口诀为:奇变偶不变,符号看象限,2k的各角的三角函数值,当k为偶数时,得的同名三角函数值,当k为奇数时,得的余名三角函数值,“符号看象限”是把任意角当成锐角,看原函数所在的象限,从而定出原函数值的符号.知识点9:和差公式ry)(x,P++--++---++-3sincoscossin)sin(;sinsincoscos)cos(;tantantan()1tantan。知识点10:二倍角公式cossin22sin;2222sin211cos2sincos2cos;22tantan21tan升幂公式2sin2cos1,2cos2cos122降幂公式2cos21cos2,21cos2sin2.知识点11:辅助角公式(把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”)22sincossinaxbxabx,2222sincosbaabab其中,知识点12:化简求值方法三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下:(1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如:①2是的二倍;4是2的二倍;是2的二倍;2是4的二倍;②2304560304515oooooo;问:12sin;12cos;2tan12tan1cos;2tan12tan2sin:222αααααα万能公式ααααααααααα半角公式sincos1cos1sincos1cos12tan2cos12sin;2cos12cos:4③)(;④)4(24;⑤)4()4()()(2;等等(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常化切为弦,变异名为同名。(3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的代换变形有:oo45tan90sincottancossin122(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有:;。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式cos1常用升幂化为有理式,常用升幂公式有:;;(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。如:_______________tan1tan1;______________tan1tan1;____________tantan;___________tantan1;____________tantan;___________tantan1;tan2;2tan1;oooo40tan20tan340tan20tan;cossin=;cossinba=;(其中tan;)总结:三角函数式的化简运算通常从:“角、名、形、幂”四方面入手;基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值与特殊角的三角函数互化。知识点13:三角函数的图像和性质函数xysinxycosxytan图π1-10xyπ20π-1y12πxπ0yx5象定义域RR},2{zkkxx值域[-1,1][-1,1]R周期性2T2TT奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性]22,22[kk上递增]223,22[kk上递减)(zk]2,2[kk上递增]2,2[kk上递减)(zk)22,22(kk上递增)(zk对称轴2xkkZxkkZ无对称中心,0kkZ,02kkZ,02kkZ知识点14:函数0,0sinAkxAy的图像与性质1、五点法作图:找出关键的五个点(一般都是找坐标轴上的特殊点和函数的最值点)2、()sin()fxAx和()cos()fxAx的最小正周期都是2||T3、函数sin()yAx表达式的确定:A影响函数最值;由周期确定;由图象上的特殊点确定;4、函数sin()yAx图象的画法:(1)“五点法”步骤:①设xt,②令0t,3,,,222求出相应的x值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;(2)图象变换法:这是作函数简图常用方法;5、函数sin()yAxk的图象与sinyx图象间的关系:(1)函数sinyx的图象纵坐标不变,横坐标向左(0)或向右(0)平移||个单位得sinyx的图象;6(2)函数sinyx图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的1,得到函数sinyx的图象;(3)函数sinyx图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到函数sin()yAx的图象;(4)函数sin()yAx图象的横坐标不变,纵坐标向上(0k)或向下(0k),得到sinyAxk的图象。注意:若由sinyx得到sinyx的图象,则向左或向右平移||个单位。xxx(只是x平移变换,而不是x平移变换)备注:(另一种变换,结论一样)函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的1倍(纵坐标不变),得到函数sinyx的图象;再将函数sinyx的图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数sinyx的图象;再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数sinyx的图象.二:典型例题考点1:正、负角及象限角1、sin600的值等于()A.12B.32C.12D.322、已知角的终边过点12,5P,则cos=,tan=.3、若0tancos,则θ是()A、第一象限角B、第二象限角C、第一、二象限角D、第二、三象限角4、在(0,2π)内满足x2cos=-xcos的x的取值范围是_________.75、如果是第三象限的角,那么2,3,2,是第几象限角。6、下列说法中,正确的是()A.第二象限的角是钝角.B.第三象限的角必大于第二象限的角C.831是第二象限角D.'''40264409842095,,是终边相同的角考点2:利用三角函数定义求值1、若角α的终边经过P(-3,b),且cosα=-53,则b=____,sinα=___2、(10全国I卷理2)记cos(80)k,那么tan100()A.21kkB.-21kkC.21kkD.-21kk考点3:诱导公式、和差公式、倍角公式、辅助角公式的简单运用1、已知sin(π+)=-35,则()A.cos=45B.tan=34C.cos=-45D.sin(π-)=352、化简)4cos()23cot()3cot()8sin()5cos(;3、已知)2,23(,1312cos,则)4(cos()A.1325B.1327C.26217D.26274、0000tan50tan703tan50tan70()A.3B.33C.33D.35、)12sin12(cos)12sin12(cos()A.23B.21C.21D.236、已知35sin()coscos()sin,那么2cos的值为____7、已知sin2,53)(sin,1312)(cos,432求.88、已知x为第三象限角,化简x2cos1()A.xsin2B.xsin2C.xcos2D.xcos29、知1sincos3,则sin2()A.89B.21C.21D.8910、α∈[0,2π],且cossinsin1cos122,则α∈()(A)[0,2](B)[2,π](C)[π,23](D)[23,2π]11、已知71tan,21)tan(),,0(),4,0(且,求)2tan(的值及角2.12、若).(),sin(32cos3sin3xxx,则()A.6B.6C.65D.65考点4:化简求值(充分利用所学公式进行化简求值)1、已知sin是方程5x2-7x-6=0的根,求)(cos)2cos()2cos()
本文标题:三角函数总复习(学生版)
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