一道课本概率习题的推广

一道课本概率习题的推广浙江省象山中学张宗余315700在新教材第二册（下A）第141页“排列、组合和概率”的小结与复习中有这样一题“将并排的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每人可以进入任一房间，且进入各个房间是等可能的，求每个房间恰好进入1人的概率。”分析：由于每个人可以进入任一房间，进入哪个房间有5种等可能的方法。根据分步计数原理，5个人进入5个房间共有55种等可能的方法。每个房间中恰好各进去1人，相当于对5个人进行全排列，其排法的种数是5！，因此，每个房间恰好进入1人的概率：625245!55P。纵向推广1：将并排的6个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每人可以进入任一房间，且进入各个房间是等可能的，求指定的5个房间恰好进住1人的概率。分析：每人有6个房间可供选择，所以5个人住的方式有56种，指定的5个房间各有1人住，其可能总数为5人的全排列5！，于是56!5P。纵向推广2：将上题中的“指定的5个房间恰好进住1人”改为“恰有5个房间各入住1人”，情况又如何？分析：题中的5个房间可以在6个房间中任意选取，其总数有56C种，对选定的5个房间，按上述的分析可知有5！种分配方式，所以恰有5个房间入住1人的概率为5566!5CP。将纵向推广1推广到一般情况1：将并排的N个房间安排给n个工作人员临时休息（Nn），假定每人可以进入任一房间，且进入各个房间是等可能的，求指定的n个房间各恰好进住1人的概率。分析：每人有n个房间可供选择，所以n个人住的方式有nN种，指定的n个房间各有1人住，其可能总数为n人的全排列n！，于是nNnP!。将纵向推广2推广到一般情况2：将并排的N个房间安排给n个工作人员临时休息（Nn），假定每人可以进入任一房间，且进入各个房间是等可能的，求恰好有n个房间，其中各住1人的概率。分析：每人有N个房间可供选择，所以n个人住的方式有nN种，题中的n个房间可以在N个房间中任意选取，其总数有nNC种，对选定的n个房间，按上述的分析可知有n！种分配方式，所以恰有n个房间入住1人的概率为!!!nNNNNnCPnnnN。注：这是一个古典概型中的一个很典型的“分房问题”，事实上不少实际问题多可以归结为它的模型。例如，若把人解释为质点，把房间解释为相应空间中的小区域，这个问题就是统计物理学中的Maxwell-Boltzmann质点运动问题。横向推广1：设有m个不同的质点，每个质点以等可能落与M（Mm）个空间小区域（每个小区域能容纳的质点数是没有限制的），求某预先指定的m个空间小区域各含一个质点的概率。分析：由推广到一般情况1的结论得：mMmP!。横向推广2：设有r个人，r365，并设每人的生日在一年365天中的每一天的可能性是均等的，问此r个人有不同生日的概率是多少？（武汉理工大学2001年硕士研究生入学考试试题）分析：若把人解释为每人的生日，把房间解释为一年365天中的每一天，由推广到一般情况2的结论得：3651136521365113651365364365!365365!365365!365rrrrCPrrrr进一步引申：有r个人，（r365），问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大？分析：这个例子是概率论历史上有名的“生日问题”。如果直接求P（A）比较麻烦，我们利用对立事件就转化为横向推广2所得的结论：A=r个人中至少有两个人的生日相同A=r个人中的生日全不相同P（A）=1—P（A）=1—!365365!365rr应用：在新教材第二册（下A）第120页习题10.5（6）一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是多少？分析：令r=2，利用引申的结论：P（A）=1—P（A）=1—!2365365!3652=1—2365364365=3651。注：当然这道例题本身并不需要这么麻烦，而且方法较多。但对于不同的一些r值，计算得相应的P（A）值如下表：r102023304050P0.120.410.510.710.890.97上表所列的答案是足以引起多数读者惊奇的，因为“一个班级中至少有两人的生日相同”这件事情发生的概率，并不如大多数人直觉中想象的那么小，而且相当大。由表可以看出，当班级中的人数为23时，就有半数以上的班级会发生这件事情，而当班级的人数达到50时，竟有97%的班级会发生上述的事情。这个例子告诉我们，“直觉”并不可靠，这就有力的说明了研究随机现象统计规律的重要性。参考文献：魏宗舒«概率论与数理统计教程»高等教育出版社