物理竞赛电磁学(2)-2012年

物理竞赛辅导电磁学第二讲2002U4aprdrr2222cosarccos2ararara200Uarccos22aprdra十一、现有一质量半径为a的均匀带电圆薄盘，其面电荷密度为σ，求圆盘边缘处的电势大小。（设无穷远处电势为零）解：以圆盘边缘为圆心，以r为半径，dr为宽度，作圆弧。一、电荷系的静电能一.定义状态a时的静电能是什么？定义：把系统从状态a无限分裂到彼此相距无限远的状态中静电场力作的功，叫作系统在状态a时的静电势能。简称静电能。相互作用能带电体系处于状态a或：把这些带电体从无限远离的状态聚合到状态a的过程中，外力克服静电力作的功。二.点电荷之间的相互作用能以两个点电荷系统为例状态aqrq12想象qq12初始时相距无限远第一步先把q1摆在某处外力不作功第二步再把q2从无限远移过来使系统处于状态a外力克服q1的场作功WAq1qEdlr21qEdlr21qqr2104qU221在所在处的电势21qqWqqrqU1201124作功与路径无关表达式相同qU221为了便于推广写为WqUqU12121122iiiUqW21Ui除qi以外的电荷在qi处的电势点电荷系也可以先移动2q在所在处的电势12qq状态aqrq12三、连续带电体的静电能W（自能）把电荷无限分割并分散到相距无穷远时，电场力作的功。qUdqWW21自多个带电体：总静电能：ijiiji互自例：在每边长为a的正六边形各顶点处有固定的点电荷，它们的电量相间地为Q或–Q.1）试求因点电荷间静电作用而使系统具有的电势能W2）若用外力将其中相邻的两个点电荷一起（即始终保持它们的间距不变）缓慢地移动到无穷远处，其余固定的点电荷位置不变，试求外力作功量A.QQQ-Q-Q-QaiiiUqW21互1）Q，-Q所在处的电势aQaQaQUooo2434242UaQaQaQUooo2434242QUUQQUW33321)2532(4302aQ2)外力作功量A.QQQ-Q-Q-Qa初末余下四个点电荷系统的电势能aQQaQQaQQaQQaQQaQQW0000001434424344273242aQo无穷远处一对电荷间的电势能aQW0224)343(40221aQ二、静电场中的导体静电平衡条件导体刚放入匀强电场中只要E不为零，自由电子作定向运动改变电荷分布，产生附加场'0EEE内两者大小相等，方向相反——完全抵消——达到静电平衡静电平衡条件0内E处于静电平衡的导体是个等势体，导体表面是个等势面PQR证明：在导体内部和表面任取P，Q和R各点，0,0QRPPEEdlEdlPQRUUU即dQPQPQPUUUEldRPRPRPUUUEl++++++++++0d0SSqESε内0ES0q内S高斯面实心带电导体P证明：静电平衡导体的电荷分布实心导体：内部无净电荷，电荷只能分布在导体表面。带空腔导体：如果空腔内无带电体，电荷只能分布在外表面S如果空腔内有带电体，空腔内表面的净电荷总是与腔内带电体所带的电量等量异号，其余电荷根据电荷守恒定律分布在外表面。证明：无论空腔内有无导体，取导体内部的高斯面S包围整个空腔，则有00intSSqSdE内Sq=0；Q+q–qS+q作扁圆柱形高斯面dSESES0εσE0/εSσ由高斯定理可以证明证明：0σEε处于静电平衡的导体表面某点的面电荷密度，正比于该点紧邻处的场强大小；+++++++0ESP1、金属空腔导体内部无带电体①导体空腔内表面不带任何电荷。②空腔内部电场强度处处为零，空腔内部及导体中的各点是等电势的。这些结论不受腔外带电体的影响。静电平衡下导体空腔的性质2、金属空腔导体内部有带电体B空腔内表面有感应电荷。内表面所带总电量与空腔内带电体的电量相等、符号相反。C空腔外表面上的感应电荷的电量与内表面上的电量之和，要遵守电荷守恒定律。D腔内场强不为零，腔内不是等势体A导体部分是等势体例：绝缘导体球不带电，距球心r处放一点电荷+q，金属球半径R,求:(1)金属球上感应电荷在球心处产生的电场强度及此时导体球的电势。(2)若将金属球接地，球上的净电荷为何？导体为等势体，求得球心o处的电势即可。o解：(1)如图，++++q+qrqEE0qEE204qrqEEerq-----导体上感应电荷都在球表面，距球心R:000444ioqqqUrRr电荷守恒qis0o++++q+qrqEq-----E00044qqRrRqqr接地时，电荷不为零，而电势为零即0U设:感应电量为o点的电势为0则q(2)若将金属球接地，球上的净电荷为何？o+qrq-----解：无限大带电平面将在导体球内激发一个场强使得导体球内的。故导体球表面上的电荷分布将发生改变，直到导体球内各点的场强为0，达到静电平衡。此时，由题意可知，P点附近导体球表面的面电荷密度为。0E2故有：02E可见，虽然导体表面一点的电荷面密度与附近场强的关系的形式不受外界影响，但外界条件可以通过影响导体表面各点的电荷密度来间接影响其附近的场强。也就是说，不管导体本身带电多少，也不管它附近是否存在影响它电荷分布的其他导体带电体，只要它处于静电平衡状态，都成立，是所有电荷叠加后的合场强。0EE三、恒定电流应记忆jE1.欧姆定律的微分形式例：如图，两边为电导率很大的导体，中间两层是电导率分别为和的均匀导电介质，它们的厚度分别为d1和d2，导体的横截面积为S，流过的电流为I。求：（1）两层导电介质中的电场强度；（2）每层导电介质两端的电势差。121212ddIISIjESIE11SIE22SIddEU11111SIddEU22222解：（1）由欧姆定律的微分形式，有：于是：（2）根据电势的定义可得：2.有电动势的电路r,RIABrRI(1)闭合电路欧姆定律（2）一段含源电路的欧姆定律Rr)()(iiiABRIUA、B两点间电压等于这两点间电路的各电源和各电阻（含电源内阻）上所有电压的代数和。(1)假设电流方向（若实际电流方向已知，则不必再假设），选定电路行走正方向。(2)对电阻而言，其电势降IR符号规则为：电流方向与行走正方向同向取正，反向取负。(3)对电源而言，电动势ε符号规则为：行走正方向与电动势方向同向取负，反向取正。(4)当电流待求时，可按所列方程解出电流I。若I0，则表示电流的实际方向与所设的方向相同；若I0，则表示电流的实际方向与所设方向相反。说明：3.复杂电路无法用串联和并联电路的规律求出整个电路电阻时，这样的电路成为复杂电路。解决复杂电路的一般方法是用基尔霍夫方程组：1.基尔霍夫第一方程（节点电流方程）0n节点nI2.基尔霍夫第二定律（回路电压方程）=0iiiiiIR电路网络结构的基本概念1.支路：电路中的每一个二端元件称为一条支路；2.节点：三条以上的支路的连接点称为节点；3.网孔：电路中由各支路构成的无重复支路的回路为网孔；4.回路：电路中由支路构成的闭和电路称为回路。以右图的电路为例说明：支路、节点、网孔和回路。应用基尔霍夫定律，原则上可以解决任何一个复杂电路，但如果电路中的回路稍多一些，解方程组就不是一件容易的事，下面我们介绍一种解决复杂电路的常用方法——对称性化简。在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点（以两端连线为对称轴），那么当在这个电路两端加上电压时，这些点的电势一定是相等的，即使用导线把这些点连接起来，导线中也不会有电流，这样就不会改变原来电路的一切情况。解：所求对应的A、B两点恰好是网络的对角线，利用对角线两侧电路的对称性，可将电路以AB为边“折叠”起来（就像折纸一样），这样做不会改变电路的任何性质。折叠后，每一段电阻由原先单一的电阻变成相当于两个电阻并联，即每段电阻阻值变为ABRRR2R232321112RRRRRRAB解:该电路的等效电路为：BRRRRRRABAB6551212114.无限网络（1）单边型线型无限网络因因（2）双边型线型无限网络解：m，n之间的等效电阻可以看成是两边两个单边无限网络，再加上一个R并联而成。1333mnRR