数学物理方程谷超豪版第二章课后答案

第二章热传导方程§1热传导方程及其定解问题的提1.一均匀细杆直径为l，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dsdtuukdQ)(11又假设杆的密度为，比热为c，热传导系数为k，试导出此时温度u满足的方程。解：引坐标系：以杆的对称轴为x轴，此时杆为温度),(txuu。记杆的截面面积42l为S。由假设，在任意时刻t到tt内流入截面坐标为x到xx一小段细杆的热量为txsxuktsxuktsxukdQxxxx221杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻t到tt在截面为x到xx一小段中产生的热量为txsuulktxluukdQ111124又在时刻t到tt在截面为x到xx这一小段内由于温度变化所需的热量为txstucxstxuttxucdQt,,3由热量守恒原理得：txsuulktxsxuktxstucxt11224消去txs，再令0x，0t得精确的关系：11224uulkxuktuc或11222112244uulckxuauulckxucktu其中cka22.试直接推导扩散过程所满足的微分方程。解：在扩散介质中任取一闭曲面s，其包围的区域为，则从时刻1t到2t流入此闭曲面的溶质，由dsdtnuDdM，其中D为扩散系数，得21ttsdsdtnuDM浓度由u变到2u所需之溶质为2121121,,,,,,ttttdvdttuCdtdvtuCdxdydztzyxutzyxuCM两者应该相等，由奥、高公式得：21211ttttdvdttuCMdvdtzuDzyuDyxuDxM其中C叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形1C。由于21,,tt的任意性即得方程：zuDzyuDyxuDxtuC3.砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的水化热成正比。以tQ表示它在单位体积中所储的热量，0Q为初始时刻所储的热量，则QdtdQ，其中为常数。又假设砼的比热为c，密度为，热传导系数为k，求它在浇后温度u满足的方程。解：可将水化热视为一热源。由QdtdQ及00QQt得teQtQ0。由假设，放热速度为teQ0它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书71页，(1.7)式得ckaecQzuyuxuatut2022222224.设一均匀的导线处在周围为常数温度0u的介质中，试证:在常电流作用下导线的温度满足微分方程2201224.0criuucPkxucktu其中i及r分别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长，表示横截面面积，而k表示导线对于介质的热交换系数。解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原71页(1.7)及(1.8)式知方程取形式为txfxuatu,222其中txFctxFtxfcka,,/,,,2为单位体积单位时间所产生的热量。由常电流i所产生的txF,1为22/24.0ri。因为单位长度的电阻为r，因此电流i作功为ri2乘上功热当量得单位长度产生的热量为/24.02ri其中0.24为功热当量。因此单位体积时间所产生的热量为22/24.0ri由常温度的热交换所产生的(视为“被动”的热源)，从本节第一题看出为014uulk其中l为细杆直径，故有lllp44/2，代入得012,uupktxF因热源可迭加，故有txFtxFtxF,,,21。将所得代入txfxuatu,222即得所求：22012224.0criuucPkxucktu5*.设物体表面的绝对温度为u，此时它向外界辐射出去的热量依斯忒---波耳兹曼(Stefan-Boltzman)定律正比于4u，即dsdtudQ4今假设物体和周围介质之间只有辐射而没有热传导，又假设物体周围介质的绝对温度为已知函数),,,(tzyxf,问此时该物体热传§导问题的边界条件应如何叙述？解：由假设，边界只有辐射的热量交换，辐射出去的热量为,|41dsdtudQs辐射进来的热量为,|42dsdtfdQs因此由热量的传导定律得边界条件为：]||[|44sssfunuk§2混合问题的分离变量法1．用分离变量法求下列定解问题的解：)0()()0,()0(0),(),0(0,0()222xxfxuttxutuxtxuatu解：设)()(tTxXu代入方程及边值得00)(0)0(02TaTXXXX求非零解)(xX得xnxXnnn212sin)(,4)12(2),1,0(n对应Ｔ为tnanneCtT4)12(22)(因此得04)12(212sin),(22ntnanxneCtxu由初始值得0212sin)(nnxnCxf因此0212sin)(2xdxnxfCn故解为004)12(212sin212sin)(2),(22ntnaxnednftxu２．用分离变量法求解热传导方程的混合问题)0(0),1(),0(1211210)0,()10,0(22ttutuxxxxxuxtxutu解：设)()(tTxXu代入方程及边值得0'0)1()0(0TTXXXX求非零解)(xX得xnXnnnsin,22n=1,2,……对应Ｔ为tnnneCT22故解为1sin),(22ntnnxneCtxu由始值得11211210sinnnxxxxxnC因此210121]sin)1(sin[2xdxnxxdxnxCn1212221022]sin1cos)1(1[2]sin1cos1[2xnnxnxnxnnxnxn2sin422nn所以122sin2sin4),(22ntnxnenntxu３．如果有一长度为l的均匀的细棒，其周围以及两端lxx,0处均匀等到为绝热，初始温度分布为),()0,(xfxu问以后时刻的温度分布如何？且证明当)(xf等于常数0u时，恒有0),(utxu。解：即解定解问题)(|0||00222xfuxuxuxuatutlxx设)()(tTxXu代入方程及边值得0'0)(')0('02TaTlXXXX求非零解)(xX：)1(当0时，通解为xxBeAexX)(xxeBeAxX)('由边值得00leBeABAl因0故相当于00llBeAeBA视BA,为未知数，此为一齐次线性代数方程组，要)(xX非零，必需不同为零，即此齐次线性代数方程组要有非零解，由代数知必需有011llee但011lllleeee因,0,0lxe为单调增函数之故。因此没有非零解)(xX。)2(当0时，通解为axXbaxxX)(')(由边值得0)(')0('alXX即b可任意，故1)(xX为一非零解。)3(当0时，通解为xBxAxXxBxAxXcossin)('sincos)(由边值得0cossin)('0)0('lBlAlXBX因,0故相当于0sin0lAB要)(xX非零，必需,0A因此必需,0sinl即)(整数nnl)(整数nln这时对应)1(cos)(AxlnxX取因n取正整数与负整数对应)(xX一样，故可取,2,1cos)(,2,1)(2nxlnxXnlnlnn对应于,1)(,00xX解T得00)(CtT对应于,)(2ln,cos)(xlnxXn解T得tlannneCtT2)()(由迭加性质，解为1)(0cos),(2ntlannxlneCCtxu0)(cos2ntlannxlneC由始值得0cos)(nnxlnCxf因此ldxxflC00)(1lnxdxlnxflC0cos)(2,2,1n所以lnltlanxlnedlnfldxxfltxu010)(coscos)(2)(1),(2当constuxf0)(时，0cos2,1000000xdxlnulCudxulClnl,2,1n所以0),(utuu4．在,0tlx0区域中求解如下的定解问题)()0,(),(),0()(002222xfxuutlutuuuxutu其中0,,u均为常数，)(xf均为已知函数。[提示：作变量代换.),(0tetxvuu]解：按提示，引tetxvuu),(0，则),(txv满足000222)(0,0uxfvvvxututlxx由分离变量法满足方程及边值条件的解为xlneAtxvtlnnnsin),(2)(1再由始值得xlnAuxfnnsin)(10故xdxlnuxflAln00sin])([2因此tetxvutxu),(),(0xlnedlnuflutlnnlsinsin])([2])[(100025．长度为l的均匀细杆的初始温度为0，端点0x保持常温0u，而在lx和侧面上，热量可以发散到到周围的介质中去，介质的温度取为0，此时杆上的温度分布函数),(txu满足下述定解问题：0)0,(0][,),0(02222xuHuxuutuubxuatulx试求出),(txu解：引),()(),(txwxvtxu使w满足齐次方程及齐次边值，代入方程及边值，计算后得)(xv要满足：0)(,)0(01'02222xHvvuvvbdxvda)(xv的通解为xabBshxabAchxv)(由边值0)0(uAv又)()(0'xabBchxabshuabxv得0)()(00labBshlabchuHlabBchlabshuab解之得)()(0labHashlabbchlabHachlabbshuB因此)()()(00labHashlabbchxabshlabHachlabbshuxabchuxv)()]()([0labHashlabbchxlabHashxlabbchu这时),(txw满足：vvwHwx)(,0设)()(),(tTxXtxw代入方程及边值条件得0)(0)()