2006年高考文科数学试题及答案（湖南卷）

绝密★启用前2006年高考文科数学试卷（湖南卷）本试题卷他选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分.选择题部分1至2页.非选择题部分3至5页.时量120分钟.满分150分.参考公式:如果事件A、B互斥，那么()()()PABPAPB如果事件A、B相互独立，那么)()()(BPAPABP如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是()(1)kknknnPkCPP球的体积公式343VR,球的表面积公式24SR，其中R表示球的半径一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数xy2log的定义域是A．(0,1］B.(0,+∞)C.(1,+∞)D.［1,+∞)2．已知向量),2,1(),,2(bta若1tt时，a∥b；2tt时，ba，则A．1,421ttB.1,421ttC.1,421ttD.1,421tt3.若5)1(ax的展开式中3x的系数是80，则实数a的值是A．-2B.22C.34D.24．过半径为12的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是A．πB.2πC.3πD.325．“a=1”是“函数axxf)(在区间［1，＋∞）上为增函数”的A．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是A．6B.12C.18D.247．圆0104422yxyx上的点到直线014yx的最大距离与最小距离的差是A．36B.18C.26D.258．设点P是函数xxfsin)(的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值4，则)(xf的最小正周期是A．2πB.πC.2D.49．过双曲线M：1222hyx的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且BCAB，则双曲线M的离心率是A．25B.310C.5D.1010.如图1：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OByOAxOP，则实数对（x,y）可以是A．)43,41(B.)32,32(C.)43,41(D.)57,51(二．填空题：本大题共5小题，每小题４分，共20分，把答案填在答题上部对应题号的横上.11.若数列na满足：1.2,111naaann，2，3….则naaa21.12.某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人，乙班50人.现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是分.13.已知022011yxyxx则22yx的最小值是.14.过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有条.15.若)4sin(3)4sin()(xxaxf是偶函数，则a=.ABOM图1三．解答题：本大题共６小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分１２分）已知),,0(,1cos)cos()22sin(sin3求θ的值.17.（本小题满分１２分）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格，则必须整改.若整改后经复查仍不合格，则强制关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算(结果精确到0.01)：(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率；(Ⅱ)某煤矿不被关闭的概率；(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.18.（本小题满分１4分）如图2，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2，AB=4.(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.19.（本小题满分14分）已知函数axaxxf313)(23.（Ｉ）讨论函数)(xf的单调性；（Ⅱ）若曲线)(xfy上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，QBCPAD图2求实数a的取值范围.20.（本小题满分14分）在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列321)1()1(nnn的逆序数为an，如排列21的逆序数11a，排列321的逆序数63a.（Ⅰ）求a4、a5，并写出an的表达式；（Ⅱ）令nnnnnaaaab11，证明32221nbbbnn，n=1,2,….21.（本小题满分14分）已知椭圆C1：13422yx，抛物线C2：)0(2)(2ppxmy，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.（Ⅰ）当xAB轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；（Ⅱ）若34p且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.2006年高考文科数学参考答案（湖南卷）1－10：DCDAABCBCDC11.12n,12.85,13.5,14.6,15.-3.16.解由已知条件得1coscos2cossin3.即0sin2sin32.解得0sin23sin或.由0＜θ＜π知23sin，从而323或.17.解（Ⅰ）每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的.所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是31.01655.0)5.01(32251CP.（Ⅱ）解法一某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是1.0)8.01()5.01(2P，从而煤矿不被关闭的概率是0.90.解法二某煤矿不被关闭包括两种情况：（i）该煤矿第一次安检合格；（ii）该煤矿第一次安检不合格，但整改后合格.所以该煤矿不被关闭的概率是90.08.0)5.01(5.02P.(Ⅲ)由题设（Ⅱ）可知，每家煤矿不被关闭的概率是0.9，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以到少关闭一家煤矿的概率是41.09.0153P.18.解法一（Ⅰ）连结AC、BD，设OBDAC.由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.（Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD.故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，2），A（22，0，0），Q（0，0，－2），B（0，22，0）.所以)2,0,22(AQ)2,22,0(PB于是3132324,cosPBAQPBAQPBAQ.从而异面直线AQ与PB所成的角是31arccos.QBCPADzyxO(Ⅲ)由（Ⅱ），点D的坐标是（0，－22，0），)0,22,22(AD，)4,0,0(PQ，设),,(zyxn是平面QAD的一个法向量，由00ADnAQn得002yxzx.取x=1，得)2,1,1(n.所以点P到平面QAD的距离22nnPQd.解法二（Ⅰ）取AD的中点，连结PM，QM.因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以AD⊥PM，AD⊥QM.从而AD⊥平面PQM.又PQ平面PQM，所以PQ⊥AD.同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.（Ⅱ）连结AC、BD设OBDAC，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.因为OA＝OC，OP＝OQ，所以PAQC为平行四边形，AQ∥PC.从而∠BPC（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角.因为322)22(2222OPOCPCPB，所以31323221612122cos222PCPBBCPCPBBPC＋＝.从而异面直线AQ与PB所成的角是31arccos.(Ⅲ)连结OM，则PQABOM21221.所以∠PMQ＝90°，即PM⊥MQ.由（Ⅰ）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD.从而PM的长是点P到平面QAD的距离.在直角△PMO中，22222222OMPOPM.即点P到平面QAD的距离是22.19.解（Ⅰ）由题设知)2(363)(,02axaxxaxxfa.令axxxf2,00)(21得.当（i）a0时，QBCPADOM若)0,(x，则0)(xf，所以)(xf在区间)2,(a上是增函数；若)2,0(ax，则0)(xf，所以)(xf在区间)2,0(a上是减函数；若),2(ax，则0)(xf，所以)(xf在区间),2(a上是增函数；（ii）当a＜0时，若)2,(ax，则0)(xf，所以)(xf在区间)2,(a上是减函数；若)2,0(ax，则0)(xf，所以)(xf在区间)2,0(a上是减函数；若)0,2(ax，则0)(xf，所以)(xf在区间)0,2(a上是增函数；若),0(x，则0)(xf，所以)(xf在区间),0(上是减函数.（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线)(xfy上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数)(xfy在axx2,0处分别是取得极值af31)0(，134)2(2aaaf.因为线段AB与x轴有公共点，所以0)2()0(aff.即0)31)(134(2aaa.所以0)4)(3)(1(2aaaa.故0,0)4)(3)(1(aaaa且.解得－1≤a＜0或3≤a≤4.即所求实数a的取值范围是[-1，0)∪[3，4].20.解（Ⅰ）由已知得15,1054aa，2)1(12)1(nnnnan.（Ⅱ）因为,2,1,22222211nnnnnnnnnaaaabnnnnn，所以nbbbn221.又因为,2,1,222222nnnnnnnbn，所以)]211()4121()3111[(2221nnnbbbn=32221232nnnn.综上，,2,1,32221nnbbbnn.21.解（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为（1，23）或（1，－23）.因为点A在抛物线上，所以p249，即89p.此时C2的焦点坐标为（169，0），该焦点不在直线AB上.（Ⅱ）解法一当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为)1(xky.由134)1(22yxxky消去y得01248)43(2222kxkxk.……①设A、B的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）,则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝22438kk.因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，所以)(214)212()212(2121xxxxAB，且34)2()2(212121xxpxxpxpxAB.从而)(214342121xxxx.所以91621xx，即91643822kk.解得6,62kk即.因为C2的焦点),32(mF在直线)1(xky上，所以km31.即3636mm或.当36m时，直线AB的方程为)1(6x