倍频高次谐波周期函数展开成傅里叶级数

第13章非正弦周期电流电路非正弦周期信号13.1周期函数分解为傅里叶级数13.2有效值、平均值和平均功率13.3非正弦周期电流电路的计算13.4对称三相电路中的高次谐波13.5首页本章重点和信号的频谱2.非正弦周期函数的有效值和平均功率重点3.非正弦周期电流电路的计算1.周期函数分解为傅里叶级数返回13.1非正弦周期信号生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。非正弦周期交流信号的特点(1)不是正弦波(2)按周期规律变化)()(nTtftf下页上页返回例2示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波下页上页例1半波整流电路的输出信号返回脉冲电路中的脉冲信号Tt例3下页上页返回交直流共存电路例4+VEs下页上页返回13.2周期函数分解为傅里叶级数ttfTd)(0若周期函数满足狄利赫利条件：①周期函数极值点的数目为有限个；②间断点的数目为有限个；③在一个周期内绝对可积，即：可展开成收敛的傅里叶级数注意一般电工里遇到的周期函数都能满足狄利赫利条件。下页上页返回直流分量基波（和原函数同频）二次谐波（2倍频）高次谐波)cos()(110kkkmtkAAtf)cos()(1110tAAtfm)2cos(212tAm)cos(1nnmtnA周期函数展开成傅里叶级数：下页上页返回]sincos[)(1110tkbtkaatfkkktkbtkatkAkkkkm111sincos)cos(也可表示成：kkkkkmkkkmkkkkmabAbAabaAaAarctansincos2200系数之间的关系为：下页上页返回π2011π2011000)(d)sin()(π1)(d)cos()(π1d)(1ttktfbttktfattfTaAkkT求出A0、ak、bk便可得到原函数f(t)的展开式。系数的计算：下页上页返回利用函数的对称性可使系数的确定简化①偶函数0)()(kbtftf0)()(katftf②奇函数③奇谐波函数0)2()(22kkbaTtftf注意－T/2tT/2f(t)o－T/2tT/2f(t)otf(t)T/2To下页上页返回周期函数的频谱图：m1~kAk的图形幅度频谱1111753Akmokω1相位频谱的图形1~kk下页上页返回周期性方波信号的分解例1解图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：TtTTtItiS2020)(m2d1d)(102/0mTTmSOItITttiTI直流分量：谐波分量：π20)(dsin)(π1ttktibSKK为偶数K为奇数π20)cos1(ππ0kItkkImmtT/2TSimIo下页上页返回0sin1π2)(dcos)(π2π0π20tkkIttktiamSkπ22k2kkkIbabAmK（k为奇数）si的展开式为：)5sin513sin31(sinπ22tttIIimmS下页上页返回ttt基波直流分量三次谐波五次谐波七次谐波周期性方波波形分解下页上页返回基波直流分量直流分量+基波三次谐波直流分量+基波+三次谐波下页上页返回)5sin513sin31(sinπ22tttIIimmStT/2TSimIIS01si3si5si下页上页IS01si3si5si等效电源返回)5sin513sin31(sinπ22tttIIimmS1111753Akmo矩形波的幅度频谱tT/2TSimI1111753kω1o-π/21~kk矩形波的相位频谱下页上页返回π20π200)(dcos0)(dsinttkttk13.3有效值、平均值和平均功率1.三角函数的性质①正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。k整数②sin2、cos2在一个周期内的积分为。π)(dcosπ)(dsinπ202π202ttkttk下页上页返回0)(dsinsin0)(dcoscos0)(dsincosπ20π20π20ttptkttptkttptkpk③三角函数的正交性下页上页返回2.非正弦周期函数的有效值)cos()(10kkkmtkIIti若则有效值:)(dcos1)(d1201002ttkIITttiTITkkkmT下页上页返回)(dcos12010ttkIITITkkkmd)(cos102122TkkkmIttkITd102020TItIT0d)cos(2100TkttkIT0d)cos()cos(210TqqmkkmttqItkITqk下页上页返回21220kkmIII周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。222120IIII结论下页上页返回3.非正弦周期函数的平均值00d)(1IttiTIT其直流值为：)cos()(10kkkmtkIIti若其平均值为：TavttiTI0d)(1正弦量的平均值为：898.0dcos10TmavIttITI下页上页返回4.非正弦周期交流电路的平均功率TtiuTP0d1)cos()(10ukkkmtkUUtu)cos()(10ikkkmtkIIti利用三角函数的正交性，得：......)(cos210100PPPIUIUPikukkkkkk下页上页返回平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率coscos22211100IUIUIUP结论下页上页返回13.4非正弦周期电流电路的计算1.计算步骤②对各次谐波分别应用相量法计算；（注意:交流各谐波的XL、XC不同，对直流C相当于开路、L相于短路。）①利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干种频率的谐波信号；③将以上计算结果转换为瞬时值迭加。下页上页返回2.计算举例例1方波信号激励的电路。求u,已知：μs28.6Aμ157pF1000mH120TICLRm、、、tT/2TSimI解(1)方波信号的展开式为：)5sin513sin31(sinπ22tttIIimmSμs28.6,μA157TIm代入已知数据：0下页上页RLCuSi返回直流分量：A5.78215720μIImA10014.357.1221mmII基波最大值：μA205115mmII五次谐波最大值：rad/s101028.614.32π266T角频率：三次谐波最大值：μA3.333113mmII下页上页返回μA5.780SI电流源各频率的谐波分量为：μA10sin10061tisμA103sin310063tisμA105sin510065tis（2）对各次谐波分量单独计算：（a)直流分量IS0作用μA5.780SI电容断路，电感短路mV57.1105.7820600SRIU下页上页Ru0SI返回（b)基波作用μA10sin10061tisΩk11010Ωk110100010113611261LCkΩ50)(j)j()j()(1RCLRXXXXRXXRZCLCLCLXLRmV2500050210100(6111）ZIU下页上页RLCu1Si返回(c)三次谐波作用μA103sin310063tis03333119.895.374)(j)j)(j()3(CLCLXXRXXRZΩk3101033k33.01010001031313611261LC0613319.895.3742103.33)3(ZIUSmV2.89247.120下页上页RLCu3Si返回(d)五次谐波作用μA105sin510065tis53.893.208)5(j)j)(j()5(55551CLCLXXRXXRZΩk5101055k2.01010001051513611261LCmV53.892166.453.893.20821020)5(615s5ZIU下页上页RLCu5Si返回(3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：mV)53.895sin(166.4)2.893sin(47.12sin500057.15310tttuuuUumV57.10UmV2.89247.123UmV250001UmV53.892166.45U下页上页返回V.)4π2000cos(601000cos12030:ttu已知求电路中各表读数(有效值)。例2V1L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30bcdA3A2V2V1A1a下页上页返回解(1)u0=30V作用于电路，L1、L2短路，C1、C2开路。i0=iL20=u0/R=30/30=1A,iC10=0,uad0=ucb0=u0=30VaiiC1iL2L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30bcdaiC10iL20L1C1C2L2+_30bcdu0i0下页上页返回(2)u1=120cos1000tV作用Ω4010251000111Ω1010101000Ω40104010006213231CCLLV01201U00cb1211UIILA90340j0120j1111UCICV012011adUU1U1I11CI21LIj40j40j40j10a+_30bcd并联谐振下页上页返回(3)u2=60cos(2000t+/4)V作用Ω201025200012121Ω20101020002,801040200026213231CCLLV45602UA45320j4560j22122LUIL0122CIIV456002cb2ad2UUU2I12CI22LIj80j20j20j202Ua+_30bcd并联谐振下页上页返回i=i0+i1+i2=1A所求电压、电流的瞬时值为：iC1=iC10+iC11+iC12=3cos(1000t+90)AiL2=iL20+iL21+iL22=1+3cos(2000t45)Auad=uad0+uad1+uad2=30+120cos1000tVucb=ucb0+ucb1+ucb2=30+60cos(2000t+45)VA1I表A1的读数：2.12A2/3表A2的读数：A35.2)2/3(122表A3的读数：V90)2/120(3022表V1的读数：V0.52)2/60(3022表V2的读数：下页上页返回例3已知u(t)是周期函数，波形如图，L=1/2H，C=125/F，求理想变压器原边电流i1(t)及输出电压u2的有效值。2410.5u/Vt/ms12解rad/s10π2/π23T)cos(1212)(ttuA5.18/121i当u=12V作用时，电容开路、电感短路，有：02u*C1i2i+–2u+–2:18Lu*o下页上页返回作用时当)cos(12tuΩ4101251