第九章-华中科技大学版微分学第九章多元函数微分学-习题课

多元函数微分学习题课一、主要内容平面点集和区域多元函数概念多元函数的极限极限运算多元函数连续的概念多元连续函数的性质全微分概念偏导数概念方向导数全微分的应用复合函数求导法则全微分形式的不变性高阶偏导数隐函数求导法则微分法在几何上的应用多元函数的极值1、多元函数的极限说明：（1）定义中的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．存在性——定义，夹逼定理不存在——特殊路径、两种方式求法——运算法则、定义验证、夹逼定理消去致零因子、化成一元极限等2、多元函数的连续性)()(lim00PfPfPP3、偏导数概念定义、求法偏导数存在与连续的关系高阶偏导数——纯偏导、混合偏导4、全微分概念定义可微的必要条件可微的充分条件利用定义验证不可微多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导5、复合函数求导法则),(),,(),,(yxvvyxuuvufzxvvzxuuzxzyvvzyuuzyz法则22“分道相加，连线相乘”法则的推广——任意多个中间变量，任意多个自变量如何求二阶偏导数6、全微分形式不变性无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、dvvzduuzdz.7、隐函数的求导法则yxFFdxdyyxF0),()1(0),,()2(zyxFzyzxFFyzFFxz,①公式法②直接法③全微分法8、微分法在几何上的应用(1)空间曲线的切线与法平面(２)曲面的切平面与法线求直线、平面的方程定点（过点）、定向（方向向量、法向量）曲线：参数式，一般式给出曲面：隐式、显式给出求隐函数偏导数的方法10、多元函数的极值9、方向导数与梯度定义计算公式（注意使用公式的条件）梯度的概念——向量梯度与方向导数的关系极值、驻点、必要条件充分条件)0(2ACB求函数),(yxfz极值的一般步骤：最值条件极值，目标函数、约束条件构造Lagrange函数),,(),,(),,(zyxzyxfzyxF例1已知),,(ztzyyxfw求twzwywxw解1fxw21ffyw32ffzw3ftwtwzwywxw0二、典型例题解)cos(cbyaxaxz)2sin(cbyaxa)22sin(222cbyaxaxz)2sin(mcbyaxaxzmmm)22sin(1mcbyaxbayxzmmm)2)(sin(nmcbyaxbayxznmnmnm例2已知)sin(cbyaxz求nmnmyxz例4.,,)(),,(2223yxzyzyzfxyxyfxz求，具有二阶连续偏导数设解)1(213xfxfxyz,2214fxfx)1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz,222123115fxfxfx,222123115fxfxfxxyzyxz22)(2214fxfxx)]([2)]([4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx.2422114213fyfyxfxfx例5.,0),(,sin,0),,(),,,(2dxduzfxyzexzyxfuy求且，具有一阶连续偏导数设解,dxdzzfdxdyyfxfdxdu,cosxdxdy显然,dxdz求得的导数两边求对,0),,(2xzexy,02321dxdzdxdyexy于是可得,),cos2(12sin13xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux故)(zyxezyx求22222,,yzyxzxz解一记)(),,(zyxezyxzyxF则zyxFFF)(1zyxe1yzxz22222yzyxzxz0解二方程两边对x求偏导)1(1)(xzexzzyx0]1)[1()(zyxexz例6设1xz由轮换对称性1yz22222yzyxzxz0两边取全微分)()(dzdydxedzdydxzyx0)](1[)(dzdydxezyx0dzdydx即dydxdz1yzxz22222yzyxzxz0解三在半径为R的圆的一切内接三角形中，求其面积最大者解如图若以x,y,z表示三角形的三边所对的圆心角，则2zyx三角形的面积)sinsin(sin212zyxRA例8问题就是求A在条件2zyx下的最大值xyz)2()sinsin(sin),,(zyxzyxzyxF),,0(zyx0cos0cos0coszFyFxFzyxzyxcoscoscoszyx322max433RA记例11之间的最短距离．与平面求旋转抛物面2222zyxyxz解.2261,022,),,(22zyxddzyxPyxzzyxP的距离为到平面则上任一点为抛物面设分析:最小．即且使满足，使得本题变为求一点))22(61(22610,,),,(2222zyxdzyxdzyxzyxzyxP),()22(61),,(222yxzzyxzyxF令得)4(,)3(,0)2)(22(31)2(,02)22(31)1(,02)22(3122yxzzzyxFyzyxFxzyxFzyx.81,41,41zyx解此方程组得),81,41,41(即得唯一驻点处取得最小值．驻点，故必在一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值)81,41,41(.647241414161mind试求曲面xyz=1上任一点),,(处的法线方程和切平面方程并证明切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积是一个常量证设1),,(xyzzyxFxyFxzFyzFzyx,,法线zyx切平面0)()()(zyx即3zyx例12切平面在三个坐标轴上的截距分别为33,33,33故切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为高底面积31V|]3||3||3|21[3129||29是一个常量