例谈数形结合思想在小学数学教学中的应用

例谈数形结合思想在小学数学教学中的应用泰州市泰东实验学校李涛论文提要：数和形是数学研究的两个基本对象，“数”构成了数学的抽象化符号语言，“形”构成了数学的直观化图形语言。他们各有优势，人们常常把“数”和“形”结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使数量的精确刻画与空间形式的直观形象和谐统一，从而使问题得以巧妙地解决。在小学数学教学中，教师应充分重视数形结合思想在学生学习中的有机渗透和应用，这样有利于学生更好地掌握数学知识，更深刻地理解知识的本质，更灵活地发现、提出和解决问题，感受数学的真与美。主题词：数形结合小学数学以形助数以数解形辨假存真正文：数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。空间形式常看作“形”，进一步扩展为数学中有形的可视的东西，如图形、图像、曲线等；数学量关系常看作“数”，进一步扩展为抽象的形式化的数学对象，如数、式、方程等等。“形”构成了数学的直观化图形语言，“数”构成了数学的抽象化符号语言，由于“数”和“形”各有优势，所以人们常常把数和形结合起来进行思考，使数量的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，寻找解题思路的一种思想。它包含着转化方向相反的两个方面，一是由数及形，对于表面上属于代数类的问题，充分利用“形”把其中数量关系的几何特征形象地表示出来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化，化抽象为直观，以形助数，使问题获解。美国著名数学家斯蒂恩说过：“如果一个特定的问题可以转化为图形，那么，思想就整体把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。”二是由形及数，根据图形结构关系特征，寻找恰当表达问题的数量关系式，将几何问题代数化，利用代数的算法化优势，以数助形，使问题获解。华罗庚先生曾作一首著名的小诗描述数形结合思想：数形本是相倚依，怎能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；几何代数统一体，永远联系莫分离。”这首诗向我们深刻地描绘了数形之间的和谐。在小学数学教学中，数形结合作为一种数学思想，主要是以渗透的教学形态为主，它蕴含于数学知识之中，又高于具体知识的一种理性认识，在教学中，要以数学知识为载体，通过对数学问题的分析和解决过程来体现，强调学生自身对数形结合思想的体验和感悟，也就是通过潜移默化的手段使数学思想悄然扎根于学生的头脑之中，逐步成长为一种意识、观念和素质，并在后续的学习、工作、生活中随时随地发挥作用，使他们终生受益。数形结合思想隐含于不同层次的不同知识点中，因此，学生理解和形成数形结合思想需要一个长期的过程，需要在这个过程中逐步丰富认识、积累经验、加深感悟。下面结合小学数学教学，谈谈数形结合思想在其中的应用。一、由数及形，以形助数数轴是数形结合最基本的载体，在一年级上册学生学习数的初步认识时就有了相应的体现。例1．苏教2012版义务教育教科书一年级上册第21页第3题：填一填，读一读。教师应充分引导学生认真观察数轴的特点，直观形象地体验点与数的关系，如点与数的一一对应、数的有序性等，使学生很容易感悟理解数的顺序、大小等特点。巧用直观图形帮助理解并解决实际问题，在小学数学教学中有着大量的应用。例2．苏教版小学数学三年级上册第45页思考题：妈妈的年龄是小芳的4倍，妈妈比小芳大27岁，妈妈和小芳各多少岁？这种题对于三年级学生来说，往往较难解决，但如果老师能够充分重视引导学生在读懂题目的基础上，画出线段图，则大部分学生都能够很顺利地解决。从线段图中，我们可以形象地看出，小芳的年龄用1份线段表示，妈妈的年龄就可以用这样的4份表示，妈妈比小芳大的27岁则是这样的3份，由此可以引导学生求出1份线段表示的年龄是：27÷3=9（岁），即小芳的年龄是9岁，妈妈的年龄则是：9×4=36（岁）。例3．在进行三年级“加减乘除整理”教学时，老师问学生：加数相同时可用乘法计算，不同的加数相加时可以用乘法计算吗？比如2＋4＋6=？老师适时出示如下左图，学生经过思考讨论，认为可以将图中的小方块进行“移多补少”，将最下面的6个方块中移2个给上面，这样每排都是4个小方块，即右图，可以看出是“3个4”，能用4×3=12这样的乘法算式进行计算。02327岁小芳妈妈在这里，图形起到了关键性的作用，将抽象的“数”转化成直观的“形”，学生通过对“形”的充分观察思考，能很轻松愉悦地理解不同加数相加（有特定要求）转化为乘法的算理。在这里，学生不仅感悟了数形结合思想的魅力，还感悟了转化的思想、移多补少的方法等。二、由形及数，以数解形事实上，小学阶段涉及到的所有图形都蕴含着简明精要的数量关系，尤其是一些基本图形，它们的某些属性都是由数量关系反映出来的。如长方形、正方形的周长和面积计算公式等。例4．苏教版小学数学六年级上册第15页例4：做一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体纸盒，至少要用多少平方厘米硬纸板？（图略）教师引导学生借助图形直观分析，要求“至少要用多少平方厘米的硬纸板”就是求该长方体的表面积，也就是求6个面的面积总和。从而引导学生得出：分别求出3组相对的面的面积，再相加，列式：6×5×2＋6×4×2＋4×5×2也有学生提出：六个面可以分为2组，先分别求出每组中一个面的面积，相加后再乘2，列式：（6×5＋6×4＋4×5）×2这时，老师引导学生观察：这两种解法在算理上有什么联系？经过讨论，一致认为这两个算式可以用乘法分配律进行解释，从而进一步增强了“形”与“数”、“数”与“数”之间的内在联系。在此基础上，抽象出求长方体表面积的数量关系模型：长方体的表面积=长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2或（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。使图形问题的解决更加简捷。三、数形结合，辨假求真“形”直观形象，但有时却给人以假象，“数”的计算就比较确切精准。在引导学生充分利用“形”的直观形象时，要注意逐步培养学生从“数”的角度进行计算、验证，培养科学的求真精神。在苏教版小学数学五年级下册学完“圆的认识”单元后，有位老师给学生出了道题目：例5．假设有一个表面极其光滑而且像地球那样大的圆球，一条钢带紧紧箍住了这个球的赤道。如今给这条钢带增加1米的长度，使得钢带离开了球的表面，并且处处同球保持着相等的距离。钢带的这种升高，是不是足以使你能够在钢带下面塞进你的一只拳头？面对这个问题，孩子们伸出拳头看看，认为这怎么可能呢？那么大的圆，增加1米的长度简直是微不足道的。于是凭着自己的直观想象，纷纷认为这不可能！于是，老师引导学生利用有关圆周长的数量关系进行计算：假设钢带箍住圆球时，钢带形成的圆的半径是a米，当圆周长增加1米后，圆的半径多了b米，即增加后的圆半径是（a＋b）米，列出数量关系式并解出：2π（a＋b）=2πa＋12πa＋2πb=2πa＋12πb=1b=1÷2πb≈0.16结果似乎令人惊奇！半径竟然多出了16厘米左右！简直不可想象。然而这却是计算的真实结果。实际上，从上面的计算可以看出，这个圆球不论是地球还是足球，升高的高度是完全一样的，都是大约16厘米，这有点超出几何直观。老师可以建议学生举例实际动手做一做，试一试。总之，数形结合能使数量的精确刻画与空间形式的直观形象达到和谐统一，在小学数学教学中有机渗透数形结合思想，不仅有利于学生更好地掌握相应的数学知识，提高发现、提出和解决相关的数学问题的能力，更能让他们感受到数学的真与美。参考文献：1．顾泠沅主编，邵光华著《作为教育任务的数学思想与方法》，上海教育出版社，2009.92．王林等著《小学数学课程标准研究与实践》，江苏教育出版社，2011.7