2007年普通高等学校全国统一考试数学湖北卷（文）含答案.

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷上无效．3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．tan690°的值为（）Ａ．33Ｂ．33Ｃ．3Ｄ．32．如果|9Uxx是小于的正整数，1234A，，，，3456B，，，，那么UUAB痧（）Ａ．12，Ｂ．34，Ｃ．56，Ｄ．78，3．如果2323nxx的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（）Ａ．10Ｂ．6Ｃ．5Ｄ．3４．函数21(0)21xxyx的反函数是（）Ａ．21log(1)1xyxxＢ．21log(1)1xyxxＣ．21log(1)1xyxxＤ．21log(1)1xyxx5．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，EF，分别为棱11AABB，的中点，G为棱11AB上的一点，且1(01)AG≤≤．则点G到平面1DEF的距离为（）Ａ．3Ｂ．22Ｃ．23Ｄ．556．为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所1D1CCBAE1AGF1BD得数据画出样本的频率分布直方图如右图所示．根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为（）A．300B．360C．420D．4507．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（）A．1564B．15128C．24125D．481258．由直线1yx上的一点向圆22(3)1xy引切线，则切线长的最小值为（）A．1B．22C．7D．39．设(43)，a，a在b上的投影为522，b在x轴上的投影为2，且||14≤b，则b为（）A．(214)，B．227，C．227，D．(28)，10．已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；③r是q的必要条件而不是充分条件；④p是s的必要条件而不是充分条件；⑤r是s的充分条件而不是必要条件．则正确命题的序号是（）A．①④⑤B．①②④C．②③⑤D．②④⑤二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．11．设变量xy，满足约束条件30023xyxyx≥，≥，≤≤，则目标函数2xy的最小值为．12．过双曲线22143xy左焦点1F的直线交曲线的左支于MN，两点，2F为其右焦点，频率组距0.080.070.060.050.040.030.020.0154.556.558.560.562.564.566.568.570.572.574.576.5体重（kg）则22MFNFMN的值为______．13．已知函数()yfx的图象在点(1(1))Mf，处的切线方程是122yx，则(1)(1)ff＿＿＿＿．14．某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率为．（用数值作答）15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为116tay（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为．（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数2π()2sin3cos24fxxx，ππ42x，．（I）求()fx的最大值和最小值；（II）若不等式()2fxm在ππ42x，上恒成立，求实数m的取值范围．17．（本小题满分12分）如图，在三棱锥VABC中，VCABC⊥底面，ACBC⊥，D是AB的中点，且O0.11y（毫克）t（小时）ＶＣACBCa，π02VDC∠．（I）求证：平面VAB⊥平面VCD；（II）试确定角的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为π6．18．（本小题满分12分）某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，030x≤≤）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．（I）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？19．（本小题满分12分）设二次函数2()fxxaxa，方程()0fxx的两根1x和2x满足1201xx．（I）求实数a的取值范围；（II）试比较(0)(1)(0)fff与116的大小．并说明理由．20．（本小题满分13分）已知数列{}na和{}nb满足：11a，22a，0na，1nnnbaa（*nN），且{}nb是以q为公比的等比数列．（I）证明：22nnaaq；（II）若2122nnncaa，证明数列{}nc是等比数列；（III）求和：1234212111111nnaaaaaa．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，过定点(0)Cp，作直线与抛物线22xpy（0p）相交于AB，两点．（I）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB△面积的最小值；（II）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．（此题不要求在答题卡上画图）2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．Ａ2．Ｄ3．Ｃ4．Ａ5．Ｄ6．Ｂ7．Ａ8．Ｃ9．Ｂ10．Ｂ二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分．11．3212．813．314．1512815．110110010111610tttyt，，，≤≤；0.6三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．解：（Ⅰ）π()1cos23cos21sin23cos22fxxxxx∵π12sin23x．ABxyNCO又ππ42x，∵，ππ2π2633x∴≤≤，即π212sin233x≤≤，maxmin()3()2fxfx，∴．（Ⅱ）()2()2()2fxmfxmfx∵，ππ42x，，max()2mfx∴且min()2mfx，14m∴，即m的取值范围是(14)，．17．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．解法1：（Ⅰ）ACBCa∵，ACB∴△是等腰三角形，又D是AB的中点，CDAB∴，又VC底面ABC．VCAB∴．于是AB平面VCD．又AB平面VAB，∴平面VAB平面VCD．（Ⅱ）过点C在平面VCD内作CHVD于H，则由（Ⅰ）知CD平面VAB．连接BH，于是CBH就是直线BC与平面VAB所成的角．依题意π6CBH，所以在CHDRt△中，2sin2CHa；在BHCRt△中，πsin62aCHa，2sin2∴．π02∵，π4∴．故当π4时，直线BC与平面VAB所成的角为π6．解法2：（Ⅰ）以CACBCV，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则2(000)(00)(00)000tan222aaCAaBaDVa，，，，，，，，，，，，，，，于是，2tan222aaVDa，，，022aaCD，，，(0)ABaa，，．从而2211(0)0002222aaABCDaaaa，，，，··，即ABCD．同理22211(0)tan0022222aaABVDaaaaa，，，，··，即ABVD．又CDVDD，AB∴平面VCD．又AB平面VAB．∴平面VAB平面VCD．（Ⅱ）设平面VAB的一个法向量为()xyz，，n，则由00ABVD，··nn．得02tan0222axayaaxyaz，．可取(112cot)，，n，又(00)BCa，，，于是2π2sinsin6222cotBCaBCann···，即2sin2π02∵，π4∴=．故交π4=时，直线BC与平面VAB所成的角为π6．解法3：（Ⅰ）以点D为原点，以DCDB，所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则222(000)000000222DAaBaCa，，，，，，，，，，，，220tan22Vaa，，，于是220tan22DVaa，，，2002DCa，，，(020)ABa，，．从而(020)ABDCa，，·20002a，，·，即ABDC．同理22(020)0tan022ABDVaaa，，，，·，即ABDV．又DCDVD，AB∴平面VCD．又AB平面VAB，∴平面VAB平面VCD．ADBCVxyz（Ⅱ）设平面VAB的一个法向量为()xyz，，n，则由00ABDV，··nn，得2022tan022ayaxaz，．可取(tan01)n，，，又22022BCaa，，，于是22tanπ22sinsin621tanaBCBCann···，即πππsin0224，，∵∴=．故交π4时，即直线BC与平面VAB所成角为π6．18．本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．解：（Ⅰ）设商品降价x元，则多卖的商品数为2kx，若记商品在一个星期的获利为()fx，则依题意有22()(309)(432)(21)(432)fxxkxxkx，又由已知条件，2242k·，于是有6k，所以32()61264329072[030]fxxxxx，，．（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有2()1825243218(2)(12)fxxxxx．x02，2(212)，121230，()fx00()fx极小极大故12x时，()fx达到极大值．因为(0)9072f，(12)11264f，所以定价为301218元能使一个星期的商品销售利润最大．19．本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考