机械振动6连续系统的振动3轴的扭转振动

第六章连续系统的振动6.3轴的扭转振动1426.3轴的扭转振动细长圆截面直杆在分布扭矩作用下作扭转振动假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面的极惯性矩Jp材料密度切变模量G),(txf：单位长度杆上分布的外力偶矩轴参数：),(tx为杆上距离原点x处的截面在时刻t的角位移截面处的扭矩为M微段dx受力),(txfx0xdxfdxMdxxMM22tdxJpdxJp：微段绕轴线的转动惯量143代入，得：微段dx受力),(txfx0xdx达朗贝尔原理：fdxMdxxMMtdxJp)(22材料力学：xGJMp即：),(22txfxMtJp),()(22txfxGJxtJpp圆截面杆的扭转振动强迫振动方程对于等直杆，抗扭转刚度GJp为常数),(122222txfJxatp有：Ga剪切弹性波的纵向传播速度fdxMdxxMM22tdxJp144等直轴的扭转自由振动：方程形式与弦的横向振动、杆的纵向振动方程一样，因此也有相同形式的解：)()(),(tFxtx式中有四个待定常数，决定于初始条件和边界条件。利用边界条件可以求出C、D或一个常数和固有频率ω，),(txfx0xdx22222xatGa)cossin(cossintBtAaxDaxC其边界条件与杆的纵向振动相似，有固定端、自由端、弹性载荷端、惯性载荷端：145(1)固定端：0)(,0)0(LaxDaxCxcossin)(0),(,0),0(tLt(2)自由端：0),(,0),(0Lxxxtxxtx0)(,0)0(dxLddxd(3)弹性载荷端：,),(),0(0xptxtxGJtk,),(),(LxptxtxGJtLk其中kt为扭转弹性刚度。,)()0(0xptxdxdGJk.)()(LxptxdxdGJLk146(4)惯性载荷端：,),(),(0022xpxxtxGJttxI.),(),(22LxpLxxtxGJttxI因为系统的线性，系统的全解由无限多阶固有模态叠加而成：1)cossin(cossin),(iiiiiiiiitBtAaxDaxCtx模态由边界条件决定，由初始条件决定其它两个常数Ai、Bi。设初始条件为：).()0,(),()0,(xgxxfx则：1cossin)(iiiiiiBaxDaxCxf1cossin)(iiiiiiiAaxDaxCxg求得Ai、Bi后，可得系统的响应147例6.3-1：轴的左端固定，右端附有圆盘，如右图。解：轴的扭振方程左端固定：,0),0(t0)0(IL0pGJ统的扭振固有频率和振型。求系22222xatGa)()(),(tFxtx设解：)cossin(cossintBtAaxDaxC0D148左端固定：,0)0(IL0pGJ22222xatGa)()(),(tFxtx)cossin(cossintBtAaxDaxC右端截面的扭矩等于圆盘的惯性力矩：,),(),(022xLxpttxIxtxGJ).()(2LIdxLdGJp,0D.sincos2aLIaLaGJpIaLGJaLaLp2tan.ILJpaxCxsin)(149ILJaLaLptan.记作记作aLtan则有轴系的特征方程α为轴的转动惯量与圆盘的转动惯量之比。若给定α，不难找出固有频率的数值解。表6.3-1给出了基本特征值β1随α值的部分变化量。α0.010.100.300.500.700.901.001.50β10.100.320.520.650.750.820.860.98α2.003.004.005.0010.020.0100∞β11.081.201.271.321.421.521.57π/21410如果α值很小，轴的转动惯量远小于圆盘转动惯量.，则有11tan轴系的特征方程简化为：，221pJLLaI即ILJLap1ILGJp/.IkLGJkp/轴的扭转弹性刚度.1Ik略去轴质量的单自由度扭振固有频率1411若α=0.3，由表6.3—1得数值解β1=0.52。两者误差仅5.327%。如果轴的转动惯量与圆盘转动惯量接近，3/1LJIkp.52.01La即。而近似解LaLa5477.01用2.3节的瑞利法，将轴转动惯量的1/3加到圆盘转动惯量上，再按单自由度扭振系统计算，得：3//LJILGJpp误差约0.7%。如果取α≈1，查表得β1=0.86；用上式计算所得基频近似值，LaLJILJapp433//21La866.01412例6.3-2：等直圆轴长为L，如图以等角速度ω转动，某瞬时左端解：建立坐标系得频率方程：,0),0(t0)0(突然固定，求轴的扭振响应。,0),(xtL0DLG0xO一端固定一端自由的边界条件：,0)(dxLd.0cosaLCa.0cosaL，212iaLi)2,1(.212iaLiiaxDaxCxcossin)(1413对于每个固有频率：)2,1(.212iaLii有：1)cossin(cossin),(iiiiiiiiitBtAaxDaxCtx1)2)12(cos2)12(sin(2)12(siniiitLaiBtLaiALxi式中Ai,Bi取决于初始条件：,0)0,(x,)0,(x代入上式：，02)12(sin1iiBLxi，0iB，12)12(2)12(siniiLaiALxi141412)12(sin2)12(sin),(iitLaiALxitx)0(iB，12)12(2)12(siniiLaiALxi积分：到，从对上式左右乘LLxj02)12(sin，dxLxjLxiLaiALxjLLii0012)12(sin2)12(sin2)12(2)12(sin，)12(222)12(iLLLaiAi，aiLAi22)12(81222)12(sin2)12(sin)12(18),(itLaiLxiiaLtx1415作业：