特殊四边形的性质和判定表

1特殊四边形的性质和判定表定理种类性质定理判定定理面积边角对角线边角对角线平行四边形平行四边形的对边平行且相等。平行四边形的对角相等，邻角互补。平行四边形的对角线互相平分。①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是它的对称中心（一般平行四边形不是轴对称图形；任意过中心的直线可以把平行四边形分成面积相等的两部分）。菱形①菱形的四条边都相等。②菱形的对边平行。菱形的对角相等，邻角互补。菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。①有一组邻边相等的平行四边形是菱形。②四条边都相等的四边形是菱形。③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。①S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)；②(b、c为两条对角线的长)菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，一个对称中心。矩形矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直。矩形的四个角都相等，都等于900。矩形的对角线互相平分且相等。①有一个角是直角的平行四边形是矩形。②有三个角是直角的四边形是矩形。③对角线相等的平行四边形是矩形。S=ab(a为一边长，b为另一边长)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，一个对称中心。正方形①正方形的四条边都相等。②正方形的对边平行。正方形的四个角都相等，都等于900。正方形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。②有一组邻边相等的矩形是正方形。③有一个角是直角的菱形是正方形。④对角线互相垂直的矩形是正方形。⑤两条对角线相等的菱形是正方形。①(a为边长)；②(b为对角线长)正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有四条对称轴，一个对称中心。⑥四条边、四个角都相等的四边形是正方形。梯形：只有一组对边平行的四边形叫梯形。平行的两边叫做梯形的底边，在下面且较长的一条底边叫下底，在上面且较短的一条底边叫上底。另外两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。（1）直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。性质:①直角梯形其中2个角是直角；②无稳定性.判定：有两个内角是直角的梯形是直角梯形.2（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫等腰梯形。等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线(过两底中点的直线）.等腰梯形具有稳定性.性质：①两腰相等；②同一底上的两角相等；③对角线相等.判定定理：①两腰相等的梯形是等腰梯形；②同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；③对角线相等的梯形是等腰梯形；梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2，用字母表示：S=（a+b）×h÷2；变形1：h=2s÷（a+b）；变形2：ha=2s÷h-b；变形3：b=2s÷h-a.另一计算梯形的面积公式：中位线×高，用字母表示：L·h对角线互相垂直的梯形面积为：对角线×对角线÷2直角三角形的定义、性质及判定三角形类型定义性质判定直角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形，即“Rt△”1.直角三角形的两锐角互余2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半4.直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）1.有一个角是直角的三角形是直角三角形2.有两个角互余的三角形是直角三角形3.如果一个三角形中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。中点四边形：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。(中点四边形只与原四边形的对角线有关）名称中点四边形任意四边形平行四边形一般的平行四边形平行四边形菱形矩形矩形菱形正方形正方形等腰梯形菱形对角线互垂直的四边形：S=21b.c(b、c为两条对角线的长)二次根式的性质：（1）)0()(2aaa（2）)0(0aa（3）2a|a|（4）)00(.babaab，(5))00(＞，bababa基本图形⑴四边形中基本图形（2）梯形问题中作辅助线的常用方法(基本图形)3做证明题的一些思想方法：⑴方程思想：运用方程思想将一个几何问题化为一个方程的求解问题。⑵化归思想方法：解四边形问题时，常通过辅助线把四边形问题转化归为三角形问题来解决。梯形问题化为三角形、平行四边形来解决。⑶分解图形法:复杂的图形都是由简单的基本图形组成，故可将复杂图形分解成几个基本图形，从而使问题简单化。⑷构造图形法：当直接证明题目有困难时，常通过添加辅助线构造基本图形以达到解题的目的。⑸解证明题的基本方法：①从已知条件出发探索解题途径的综合法；②从结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直至已知条件的分析法；③两头凑的方法，就是综合运用以上两种方法找到证明的思路（又叫分析—综合法）。⑹转化思想：就是将复杂问题转化，分解为简单的问题，或将陌生的问题转化成熟悉的问题来处理的一种思想。【经典题目】1.从平行四边形四边形ABCD的各顶点作对角线的垂线AE、BF、CG、DH，垂足分别是E、F、G、H，求证：EF∥GH.2.平行四边形ABCD的对角线交于O，作OEBC，AB=37cm,BE=26cm,EC=14cm,求：平行四边形ABCD的面积.第1题图第2题图3.如图△ABC中，∠ACB=90度，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于点E，CF//AB交直线DE于F．设CD=x．（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？4.在直角三角形ABC中，CD是斜边AB的高，∠A的平分线AE交CD于F，交BC于E，EGAB于G，求证：CFGE是菱形。第3题图第4题图5.已知：如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论.6.矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC的三等分点，求△BEF的面积。7.矩形ABCD的周长是56cm，它的两条对角线相交于O，△AOB的周长比△BOC的周长短4cm，求（1）AB，（2）BC的长？8.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=32，AE⊥BD于点E，求OE的长？49.如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点M为CD上一动点（与点C不重合），将矩形沿某一直线对折，使点B与点M重合，折痕与AD交于点E，与BC交于点F.（1）写出图中全等的三角形（不包括虚线所在三角形）；（2）设CM=x，AE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）是否存在点M的位置使∠BEM=900，若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.第5题图第8题图第9题图10.正方形ABCD中，M为AB的任意点，MNDM，BN平分∠CBF，求证：MD=NM11.在正方形ABCD的CD边上取一点G，在CG上向原正方形外作正方形GCEF，求证：DEBG，DE=BG。12.已知：如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F分别在OB、OC上，且OE=OF.求证：AE⊥BF.13.如图：已知正方形ABCD的边长为5，E是BC上一点，BE:EC=2:3,M、N分别在CD、AB上，以M、N为折痕，使点A与AC上的点E重合.求（1）BN的长（2）SANEM四边形