固体物理答案

第一章晶体结构1.1、（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r，V=3r34，Vc=a3，n=1∴52.06r8r34ar34x3333（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x334ar4a3n=2,Vc=a3∴68.083)r334(r342ar342x3333（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r22a,r4a2n=4，Vc=a374.062)r22(r344ar344x3333（4）对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6260sinaa6SABO=2a233晶胞的体积：V=332r224a23a38a233CSn=1232126112=6个74.062r224r346x33（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r8ar24a3n=8,Vc=a334.063r338r348ar348x333331.3证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2aajkaaikaaij由倒格子基矢的定义：1232()baa31230,,22(),0,224,,022aaaaaaaaaa，223,,,0,()224,,022ijkaaaaaijkaa213422()()4abijkijkaa同理可得：232()2()bijkabijka即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。所以，面心立方的倒格子是体心立方。（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2aaijkaaijkaaijk由倒格子基矢的定义：1232()baa3123,,222(),,2222,,222aaaaaaaaaaaaa，223,,,,()2222,,222ijkaaaaaajkaaa213222()()2abjkjkaa同理可得：232()2()bikabija即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。所以，体心立方的倒格子是面心立方。1.4、1.5、证明倒格子矢量112233Ghbhbhb垂直于密勒指数为123()hhh的晶面系。证明：因为33121323,aaaaCACBhhhh，112233Ghbhbhb利用2ijijab，容易证明12312300hhhhhhGCAGCB所以，倒格子矢量112233Ghbhbhb垂直于密勒指数为123()hhh的晶面系。1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)hkl的晶面系，面间距d满足：22222()dahkl，其中a为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。解：简单立方晶格：123aaa，123,,aaiaajaak由倒格子基矢的定义：2311232aabaaa，3121232aabaaa，1231232aabaaa倒格子基矢：123222,,bibjbkaaa倒格子矢量：123Ghbkblb，222Ghikjlkaaa晶面族()hkl的面间距：2dG2221()()()hklaaa22222()adhkl面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。第二章固体结合2.1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（2ln2）和库仑相互作用能，设离子的总数为2N。＜解＞设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有(1)11112[...]234jijrrrrrr前边的因子2是因为存在着两个相等距离ir的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为234(1)...34nxxxxxx当X=1时，有1111...2234n2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为()mnurrr试求：（1）平衡间距0r；（2）结合能W（单个原子的）；（3）体弹性模量；（4）若取02,10,3,4mnrAWeV，计算及的值。解：（1）求平衡间距r01112[1...]23422n由0)(0rrdrrdu，有：mnnmnmmnnmrrnrm1101.0100结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用w表示）（2）求结合能w（单个原子的）题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即Umin即：nmrrrUW000)(（可代入r0值，也可不代入）（3）体弹性模量由体弹性模量公式：0220209rrUVrk（4）m=2，n=10，Ar30，w=4eV，求α、β818105210r①)5(54)(802010.200代入rrrrrUeVrrUW454)(200②将Ar30，JeV1910602.11代入①②211523810459.910209.7mNmN详解：（1）平衡间距r0的计算晶体内能()()2mnNUrrr平衡条件00rrdUdr，11000mnmnrr，10()nmnrm（2）单个原子的结合能01()2Wur，00()()mnrrurrr，10()nmnrm1(1)()2mnmmnWnm（3）体弹性模量0202()VUKVV晶体的体积3VNAr，A为常数，N为原胞数目晶体内能()()2mnNUrrrUUrVrV1121()23mnNmnrrNAr221121[()]23mnUNrmnVVrrrNAr022222000001[]29mnmnVVUNmnmnVVrrrr由平衡条件01120001()023mnVVUNmnVrrNAr，得00mnmnrr0222220001[]29mnVVUNmnVVrr02220001[]29mnVVUNmnmnVVrr2000[]29mnNnmVrr000()2mnNUrr020220()9VVUmnUVV体弹性模量009mnKUV（4）若取02,10,3,4mnrAWeV10()nmnrm，1(1)()2mnmmnWnm1002Wr，20100[2]rWr-95101.210eVm，1929.010eVm第三章固格振动与晶体的热学性质3.2、讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其2N个格波解，当M=m时与一维单原子链的结果一一对应。解：质量为M的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……；质量为m的原子位于2n，2n+2，2n+4……。牛顿运动方程2221212121222(2)(2)nnnnnnnnmMN个原胞，有2N个独立的方程设方程的解[(2)]2[(21)]21itnaqnitnaqnAeBe，代回方程中得到22(2)(2cos)0(2cos)(2)0mAaqBaqAMBA、B有非零解，2222cos02cos2maqaqM，则12222()4{1[1sin]}()mMmMaqmMmM两种不同的格波的色散关系1222212222()4{1[1sin]}()()4{1[1sin]}()mMmMaqmMmMmMmMaqmMmM一个q对应有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为2N.当Mm时4cos24sin2aqmaqm，两种色散关系如图所示：长波极限情况下0q，sin()22qaqa，(2)qm与一维单原子晶格格波的色散关系一致.3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为和10，令两种原子质量相等，且最近邻原子间距为2a。试求在0,qqa处的()q，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如2H这样的双原子分子晶体。答：（1）浅色标记的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……；深色标记原子位于2n，2n+2，2n+4……。第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程：212222112121122112222()()nnnnnnnnmm体系N个原胞，有2N个独立的方程方程的解：1[(2)]221[(21)]221itnaqnitnaqnAeBe，令221122/,/mm，将解代入上述方程得：11222222212121122222221212()()0()()0iaqiaqiaqiaqAeeBeeABA、B有非零的解，系数行列式满足：11222222212121122222221212(),()0(),()iaqiaqiaqiaqeeee1111222222222222121212()()()0iaqiaqiaqiaqeeee1111222222222222121212()()()0iaqiaqiaqiaqeeee因为1、210，令2222012010,10ccmm得到222400(11)(10120cos)0aq两种色散关系：220(1120cos101)qa当0q时，220(11121)，0220当qa时，220(1181)，00202（2）色散关系图：