傅里叶变换--经典ppt

1积分变换Fourier变换Recall:周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数；但全直线上的非周期函数不能用Fourier表示；引进类似于Fourier级数的Fourier积分(周期趋于无穷时的极限形式)2§1Fourier积分公式1.1Recall:在工程计算中,无论是电学还是力学,经常要和随时间变化的周期函数fT(t)打交道.例如:具有性质fT(t+T)=fT(t),其中T称作周期,而1/T代表单位时间振动的次数,单位时间通常取秒,即每秒重复多少次,单位是赫兹(Herz,或Hz).t3最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现,所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.——Fourier级数方波4个正弦波的逼近100个正弦波的逼近401cossin2Tnnnaftantbnt研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可,通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的情况.是以T为周期的函数，在上满足Tft,22TTDirichlet条件：Tft连续或只有有限个第一类间断点；Tft只有有限个极值点；Tft可展开成Fourier级数，且在连续点t处成立：522222,2cos0,1,2,2sin1,2,TnTTTnTTTaftntdtnTbftntdtnT其中0100cossin22TTnnnftftaantbnt：t在间断点处成立引进复数形式：cos,sin22intintintinteeeentnti60101222222intintintintnnnintintnnnnnaeeeeabiaaibaibee20002222222221,,,22211cossin11cossin1,2,TnnnnnnTTTTintTnTTTTTintTnTnTTnnaaibaibccdcftdtTcftntintdtftedtTTdftntintdtftedtcTTncc令则级数化为：72210,1,2,TintnTTcftedtnT221TintinintnTTnncefedeTncFnTnftc的离散频谱；argTnftc的离散振幅频谱；.Tftn的离散相位频谱；合并为：级数化为：若以描述某种信号，Tft则可以刻画的特征频率。ncTft8limTTftft对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的.作周期为T的函数fT(t),使其在[-T/2,T/2]之内等于f(t),在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上,则T越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大,这就说明当T时,周期函数fT(t)便可转化为f(t),即有9例矩形脉冲函数为1101tftt如图所示:1-1Otf(t)11044,22,422nnftftnnnT1-13T=4f4(t)t现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t),令T=4,则11则222142111144111441sin11sinc0,1,2,22TnTnnnnnjtnTjtjtjtjjnnnnncftedtTftedtedteeejjn120sinsincsincsin0,lim1sinsinc01,1,0xxxxxxxxxx函数定义为严格讲函数在处是无定义的但是因为所以定义用不严格的形式就写作则函数在整个实轴连续。sinc(x)xsinc函数介绍13前面计算出1sinc0,1,2,22,2nnncnnnnT可将以竖线标在频率图上nc1488,22,844nnftftnnnT1-17T=8f8(t)t现在将周期扩大一倍,令T=8,以f(t)为基础构造一周期为8的周期函数f8(t)15则224184111188111881sin11sinc0,1,2,44TnTnnnnnjtnTjtjtjtjjnnnnncftedtTftedtedteeejjn16则在T=8时,1sinc0,1,2,42,84nnncnnnn再将以竖线标在频率图上nc17如果再将周期增加一倍,令T=16,可计算出1sinc0,1,2,82,168nnncnnnn再将以竖线标在频率图上nc18一般地,对于周期T2211111111sin22sinc0,1,2,TnTnnnnjtnTjtjtjjnnnnncftedtTedtTeeeTjTjnTT19当周期T越来越大时,各个频率的正弦波的频率间隔越来越小,而它们的强度在各个频率的轮廓则总是sinc函数的形状,因此,如果将方波函数f(t)看作是周期无穷大的周期函数,则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成,将那个频率上的轮廓即sinc函数的形状看作是方波函数f(t)的各个频率成份上的分布,称作方波函数f(t)的傅里叶变换.2022,Dirichlet,22Fourier,12,nnTTitintTnnnnTitnnTTTTftTftftcecennTcftedtT设为周期函数，在上满足条件则可展开为级数:22jj1()d.TnnTtTTnftfeeT即limTTftft由1.2Fourier积分公式与Fourier积分存在定理2122jj1limd,TnnTtTTnnftfeeTn可知当取一切整数时所对应的点便均匀分布在整个数轴上:T2{O123n-1nT2{)(,02)(21连续变量为此时视，无关与令nnnTTnT222222jjjj01limd1limd2TnnTTnnTntTTntTnnftfeeTfee22jj0d1lim2TnTnnTnTtTnnnFfeftFe令22nTTiiTnTTFfedfedF12itftFed由定积分定义（注：积分限对称）.23FourierDirichlet12002iitftfededfttftftt定理积分存在定理若在任何有限区间上满足条件，且在，绝对可积，则为连续点；为间断点。,||dftt在绝对可积是指的收敛。12iitftfeded即ft付氏积分公式24jjj1dd21dd21cosd2sinsin,1cosdd2ttftfeefeftjftddftdftft因是的奇函数。付氏积分公式也可以转化为三角形式ft25又考虑到积分cos,ftd是的偶函数1cosdd2ftft从01cosddftft可得。26§2Fourier变换2.1Fourier变换的定义12iitftfeded已知：，()Fourier[]itFftedtftft实自变量的复值函数称为的变换，记为。F11Fourier2[].itFedFF称为的逆变换，记为F27FourierftFftF：一一对应，称为一组变换对。称为原像函数，称为像函数。11,,ftFFftFftftF若则；若则FFFFFourier积分存在定理的条件是Fourier变换存在的一种充分条件.28在频谱分析中,傅氏变换F()又称为f(t)的频谱函数,而它的模|F()|称为f(t)的振幅频谱(亦简称为频谱).由于是连续变化的,我们称之为连续频谱,对一个时间函数f(t)作傅氏变换,就是求这个时间函数f(t)的频谱.FftF的频谱密度函数；argftF的振幅频谱；ft的相位频谱。29例1求矩形脉冲函数的付氏变换及其积分表达式。1,1()0,1tftt111112sinitititiieFftedtedtieei00011cos212sin2sincoscositftFedFtdttdd30240001sincosd1010,sindsincd2tttttxxxxx因此可知当时有2Fsin另外，由=可作出频谱图:2F23sin0k31jjj2200ed1jeededjttttFftttt0,0()e,0,0.ttftt例2求指数衰减函数的傅氏变换及其积分表达式其中tf(t)jj2222011jeded221cossindttftFtt3222000cossind/20e0tttttt因此2.2单位脉冲函数及其傅氏变换在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数.因为有许多物理现象具有脉冲性质,如在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.33在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t).以q(t)表示上述电路中的电荷函数,则0,0;1,0.tqtt0dlimdtqtqttqtittt当t0时,i(t)=0,由于q(t)是不连续的,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数的.34如果我们形式地计算这个导数,则得000010