基本初等函数与初等函数

y=cOxy第三节基本初等函数与初等函数一、基本初等函数常量函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数幂函数、1．常量函数：cy（c为任意常数）)(是常数xyoxy)1,1(112xyxyxy1xy2.幂函数1、图形都通过点（1，1）。2、0时，图形过原点，且在),0(内单调增加。3、0时，图形在),0(内单调减少。图像特点：例1：求函数31211423xxy的定义域。解：023x014x32x41x),41()41,32[x3、指数函数xay1,0aa它的定义域是整个实数.,x性质：（1）图形在x轴的上方0y.,x（2）图形均过点1,0xayxay)1(a)1,0(（3）)1(a曲线从左到右逐渐上升。)10(a曲线从左到右逐渐下降。但与x轴不相交.)10(axey以无理数7182818.2e为底的指数函数是常用的实数函数.指数函数的运算性质:1.10ayxyxaaa.2yxyxaa)(.3yxyxaaa.4例2:比较下列数值的大小312133.1与解:1axa312133312131217.07.0.2与解:1axa31217.07.04.对数函数),(log10aaxyaxay的反函数记为称为对数函数,.,0xxyalogxya1log)(1a)0,1(性质:（2）图形在y轴的右方0x（1）图形均过点0,11a不与y轴相交.曲线从左到右逐渐上升。曲线从左到右逐渐下降。(3)10x0y1x,0y对数函数的运算性质：以e为底的对数xelog是常用的对数，称为自然对数，记为xyln01log.1a1log.2aayxyxaaalogloglog.3yxyxaaalogloglog.4xxaaloglog.50lnxexx0)()()(lnxexx01ln1lnexyyxlnlnlnyxyxlnlnlnxxlnln5、三角函数在直角三角形中：acb正弦casincbcos余弦正切batanabcot余切正割bcseccos1余割accscsin1tan1aacossinaasincos任意三角形：角可以看成由一条射线绕着它的端点旋转而成的。当射线绕着它的端点旋转一周以上，就形成大于3600的角。习惯上规定：逆时针方向旋转而成的角是正角。顺时针方向旋转而成的角是负角。角的度量单位用弧度（实数）：23600017453.0180101弧度＝815718000x0y弧度（1）正弦函数xy0y在直角坐标系中取单位圆在圆周上任意一点yxM,yxM,xysin从现在开始角度用弧度x表示圆的半径1OMR1sinyxxysin1、1sinx,x是有界函数xxsinsin.2图形性质：是奇函数4、周期2l3、]2,2[x是单增函数。1111（2）余弦函数xycos,x图形xycos1、1cosx是有界函数xxcoscos.2是偶函数4、周期2l3、],0[x是单减函数。性质值域W:[-1,1]注：xcosxycosxytanxytan（3）正切函数,x2,1,02kkx图形性质（1）在定义域中是无界函数。（2）是奇函数（3）在2,2内是单调增函数。（4）周期为lxycotxycot（4）余切函数,x2,1,0kkx图形性质（1）在定义域中是无界函数。（2）是奇函数（3）在,0内是单调减函数。（4）周期为l常用的三角函数的公式1cossin22xxxxxcossin22sin22cos1sin2xx22cos1cos2xxxx22sectan1xx22csccot1xxxxx2222sin211cos2sincos2cosyxyxyxsincoscossinsinyxyxyxsinsincoscoscosxyarcsin反正弦函数5.反三角函数]1,1[x性质（1）在[-1,1]上有界函数。（2）是奇函数。（3）在]1,1[上是单调增函数。2arcsinxy2121x-11Oy=arcsinx21,1(21,1(反余弦函数xyarccos]1,1[x性质（1）在[-1,1]是有界函数。（2）是非奇非偶函数（3）在]1,1[上是单调减函数。xarccosy21x-11Oy=arccosx反正切函数xyarctan,xxy02y2y性质（1）在（2）是奇函数（3）在,上是单调增函数。2arctanx,内是有界函数xarcycot,xxy0y2性质（1）在（2）是非奇非偶函数（3）在,上是单调减函数。xarccot,内是有界函数反余切函数由基本初等函数经过有限次四则运算得出的函数称为简单函数。如：都是简单函数。都不是简单函数。二、复合函数1、简单函数是由基本初等函数与简单函数所构成。函数g在E上的值域g(E)必须含在f的定义域内，即g(E)D.否则，不能构成复合函数.设函数y=f(u)的定义域为D，函数u=g(x)在E上有定义，且g(E)D，则由下式确定的函数y=f[g(x)]，x∈E函数g与函数f能构成复合函数的条件是:称为由函数y=f(u)和函数u=g(x)构成的复合函数，它的定义域为E，变量u称为中间变量.两个及多个函数能够构成复合函数的过程叫函数的复合运算.定义（复合函数）复合函数y=arcsin(x2-1)的定义域为例3函数y=arcsin(x21)可以看成是函数y=f(u)=arcsinu和u=g(x)=x21y=f(u)的定义域D={u||u|≤1},u=g(x)的定义域E={x|x+}，复合而成的函数.|22xx最后一个中间变量与的形式，之前中间变量都应该是基本初等函数的形分解复合函数的原则是：自变量的关系是简单函数式。例4分析下列函数是由几重基本初等函数所构成，并写出其中间变量.2)13(xy（2）)35sin(xy（3）32ln2xy解（1）132xuuy，（2）35sinxvvuuy，，（3）32ln2xwwvvuuy，，，（1）有一类既不能称为幂函数也不能称为指数函数的函数，其底数部分和指数部分都是自变量x的表达式，像)()]([xgxfy形式的函数称为幂指函数.三、幂指函数xxyxxysin)21(如等，四、初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算得到的可用一个式子表示的函数称为初等函数.例如，等都是初等函数.2,yaxbxc1sin,yx2,xye非初等函数举例:符号函数当x0当x=0当x0xyo11取整函数当xyo134212无穷级数如：nnxaxaxaa2210