高中数学-集合知识讲解

-1-1集合一、章节结构图123412nxAxBABABAnA（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个，注关系集合集合与集合00(2-1)23,,,,.4/nAAABCABBCACABABxBxAABABABABABxxAxBAAAAABBAAB真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且定义：且交集性质：，，，运算,/()()()-()/()()()()()()UUUUUUUUAABBABABAABxxAxBAAAAAABBAABAABBABABBCardABCardACardBCardABCAxxUxAACAACAAUCCAACABCACB，定义：或并集性质：，，，，，定义：且补集性质：，，，，()()()UUUCABCACB二、复习指导1．新课标知识点梳理在高中数学中，集合的初步知识与常用逻辑用语知识，与其它内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础，准确表述数学内容，更好交流的基础．集合知识点及其要求如下：1．集合的含义与表示(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．1．1集合的概念及其运算(一)(一)复习指导本节主要内容：理解集合、子集、交集、并集、补集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，会用集合的有关术语和符号表示一些简单\的集合．高考中经常把集合的概念、表示和运算放在一起考查．因此，复习中要把重点放在准确理解集合概念、正确使用符号及准确进行集合的运算上．-2-21．集合的基本概念(1)某些指定的对象集在一起就成为一个集合．集合中每个对象叫做这个集合的元素．集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的．(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作．(3)集合可分为有限集与无限集．(4)集合常用表示方法：列举法、描述法、大写字母法、图示法及区间法．(5)元素与集合间的关系运算；属于符号记作“∈”；不属于，符号记作“”．2．集合与集合的关系对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含集合A，记作AB(读作A包含于B)，这时也说集合A是集合B的子集．也可以记作BA(读作B包含A)①子集有传递性，若AB，BC，则有AC.②空集是任何集合的子集，即A③真子集：若AB，且至少有一个元素b∈B，而bA，称A是B的真子集．记作AB(或BA)．④若AB且BA，那么A=B⑤含n(n∈N*)个元素的集合A的所有子集的个数是：2的n次方个．(二)解题方法指导例1．选择题：(1)不能形成集合的是()(A)大于2的全体实数(B)不等式3x－5＜6的所有解(C)方程y=3x+1所对应的直线上的所有点(D)x轴附近的所有点(2)设集合62},23|{xxxA，则下列关系中正确的是()(A)xA(B)xA(C){x}∈A(D){x}A(3)设集合},214|{},,412|{ZZkkxxNkkxxM，则()(A)M=N(B)MN(C)MN(D)M∩N=例2．已知集合}68{NNxxA，试求集合A的所有子集．例3．已知A={x｜－2＜x＜5}，B={x｜m+1≤x≤2m－1}，B≠，且BA，求m的取值范围．例4*．已知集合A={x｜－1≤x≤a}，B={y｜y=3x－2，x∈A}，C={z｜z=x2，x∈A}，若CB，求实数a的取值范围．1．2集合的概念及其运算(二)(一)复习指导(1)补集：如果AS，那么A在S中的补集sA={x｜x∈S，且x≠A}．(2)交集：A∩B={x｜x∈A，且x∈B}-3-3(3)并集：A∪B={x｜x∈A，或x∈B}这里“或”包含三种情形：①x∈A，且x∈B；②x∈A，但xB；③x∈B，但xA；这三部分元素构成了A∪B(4)交、并、补有如下运算法则全集通常用U表示．U(A∩B)=(UA)∪(UB)；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)U(A∪B)=(UA)∩(UB)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)(5)集合间元素的个数：card(A∪B)=card(A)+card(B)－card(A∩B)集合关系运算常与函数的定义域、方程与不等式解集，解析几何中曲线间的相交问题等结合，体现出集合语言、集合思想在其他数学问题中的运用，因此集合关系运算也是高考常考知识点之一．(二)解题方法指导例1．(1)设全集U={a，b，c，d，e}．集合M={a，b，c}，集合N={b，d，e}，那么(UM)∩(UN)是()(A)(B){d}(C){a，c}(D){b，e}(2)全集U={a，b，c，d，e}，集合M={c，d，e}，N={a，b，e}，则集合｛a，b}可表示为()(A)M∩N(B)(UM)∩N(C)M∩(UN)(D)(UM)∩(UN)例2．如图，U是全集，M、P、S为U的3个子集，则下图中阴影部分所表示的集合为()(A)(M∩P)∩S(B)(M∩P)∪S(C)(M∩P)∩(US)(D)(M∩P)∪(US)例3．(1)设A={x｜x2－2x－3=0}，B={x｜ax=1}，若A∪B=A，则实数a的取值集合为____；(2)已知集合M={x｜x－a=0}，N={x｜ax－1=0}，若M∩N=M，则实数a的取值集合为____．例4．定义集合A－B={x｜x∈A，且xB}．(1)若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}则N－M等于()(A)M(B)N(C)｛1，4，5}(D){6}(2)设M、P为两个非空集合，则M－(M－P)等于()(A)P(B)M∩P(C)M∪P(D)M例5．全集S={1，3，x3+3x2+2x}，A={1，|2x－1|}.如果sA={0}，则这样的实数x是否存在?若存在，求出x；若不存在，请说明理由．例题解析1．1集合的概念及其运算(1)例1分析：(1)集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的；(2)注意“∈”与“”以及x与{x}的区别；(3)可利用特殊值法，或者对元素表示方法进行转换．-4-4解：(1)选D．“附近”不具有确定性．(2)选D．(3)选B．方法一：NM21,21故排除(A)、(C)，又N43,43M，故排除(D)．方法二：集合M的元素.),12(41412Zkkkx集合N的元素214kxZkk),2(41．而2k＋1为奇数，k＋2为全体整数，因此MN．小结：解答集合问题，集合有关概念要准确，如集合中元素的三性；使用符号要正确；表示方法会灵活转化．例2分析：本题是用{x｜x∈P}形式给出的集合，注意本题中竖线前面的代表元素x∈N．解：由题意可知(6－x)是8的正约数，所以(6－x)可以是1，2，4，8；可以的x为2，4，5，即A={2，4，5}．∴A的所有子集为，{2}，{4}，{5}，{2，4}，{2，5}，{4，5}，{2，4，5}．小结：一方面，用{x｜x∈P}形式给出的集合，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；另一方面，含n(n∈N*)个元素的集合A的所有子集的个数是：210nnnCCCnnnC2个．例3分析：重视发挥图示法的作用，通过数轴直观地解决问题，注意端点处取值问题．解：由题设知51221121mmmm，解之得，2≤m＜3．小结：(1)要善于利用数轴解集合问题．(2)此类题常见错误是：遗漏“等号”或多“等号”，可通过验证“等号”问题避免犯错．(3)若去掉条件“B≠”，则不要漏掉A的情况．例4*分析：要首先明确集合B、C的意义，并将其化简，再利用CB建立关于a的不等式．解：∵A＝[－1，a]，∴B={y｜y=3x－2，x∈A}，B=[－5，3a－2]1],,0[10],1,0[01],1,[}.,|{222aaaaaCAxxzzC(1)当－1≤a＜0时，由CB，得a2≤1≤3a－2无解；(2)当0≤a＜1时，1≤3a－2，得a=1；(3)当a≥1时，a2≤3a－2得1≤a≤2综上所述，实数a的取值范围是[1，2]．小结：准确理解集合B和C的含义(分别表示函数y=3x－2，y=x2的值域，其中定义域为A)是解本题的关键．分类讨论二次函数在运动区间的值域是又一难点．若结合图象分析，结果更易直观理解．1．2集合的概念及其运算(2)例1分析：注意本题含有求补、求交两种运算．求补集要认准全集，多种运算可以考虑运算律．解：(1)方法一：∵UM={b，c}，UN={a，c}∴(UM)∩(UN)=，答案选A方法二：(UM)∩(UN)=U(M∪N)=∴答案选A方法三：作出文氏图，将抽象的关系直观化．∴答案选A(2)同理可得答案选B小结：交、并、补有如下运算法则U(A∩B)=(UA)∪(UB)；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)-5-5U(A∪B)=(UA)∩(UB)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)例2分析：此题为通过观察图形，利用图形语言进行符号语言的转化与集合运算的判断．解：∵阴影中任一元素x有x∈M，且x∈P，但xS，∴x∈US．由交集、并集、补集的意义．∴x∈(M∩P)∩(US)答案选D．小结：灵活进行图形语言、文字语言、符号语言的转化是学好数学的重要能力．例3解：(1)由已知，集合A={－1，3}，0}1{0aaaB∵A∪B=A得BA∴分B=和}1{aB两种情况．当B＝时，解得a=0；当}1{aB时，解得a的取值}31,1{综上可知a的取值集合为}31,1,0{(2)由已知，0}1{0},{aaaNaM∵M∩N=MMN当N=时，解得a=0；M={0}即M∩N≠M∴a=0舍去当}1{aN时，解得11aaa综上可知a的取值集合为{1，－1}．小结：(Ⅰ)要重视以下几个重要基本关系式在解题时发挥的作用：(A∩B)A，(A∩B)B；(A∪B)A，(A∪B)B；A∩UA=，A∪UA=U；A∩B=AAB，A∪B=BAB等．(Ⅱ)要注意是任何集合的子集．但使用时也要看清题目条件，不要盲目套用．例4解：(1)方法一：由已知，得N－M={x｜x∈N，且xM}={6}，∴选D方法二：依已知画出图示∴选D．(2)方法一：M－P即为M中除去M∩P的元素组成的集合，故M－(M－P)则为M中除去不为M∩P的元素的集合，所以选B．方法二：由图示可知M=(M∩P)∪(M－P)选B．方法三：计算(1)中N－(N－M)={2，3}，比较选项知选B．小结：此题目的检测学生的阅读理解水平及适应、探索能力，考查学生在新情境中分析问题解决问题的能