有限差分法解雷诺方程

雷诺方程的数值解法——有限差分法雷诺方程的一般形式为∂∂x(h3η∂p∂x)+∂∂y(h3η∂p∂y)=6⌈U∂h∂x+V∂h∂y+2ρ(wh−w0)⌉1求解雷诺方程的方法有很多，有限差分法是最为常用的一种方法2有限差分法的解题步骤：1）将所求的方程量纲一化。目的是减少自变量和应变量的数目，同时，用量纲一话的解具有通性。2）将求解域划分成等距或者不等距的网格，网格的划分根据精度要求来定。3）将方程写成线性形式。这一步是有限差分法的关键，主要是将二次导数和一次导数展开成一次项例如变量ϕ在（i，j）点的偏导数为(∂ϕ∂x)i,j=ϕi+1,j−ϕi−1,j2∆x类似于f′(x)=f(x+∆x)−f(x−∆x)2∆x(∂ϕ∂y)i,j=ϕi+1,j−ϕi−1,j2∆y(∂2ϕ∂x2)i,j=ϕi+1,j+ϕi−1,j−ϕi,j（∆x）2(∂2ϕ∂y2)i,j=ϕi+1,j+ϕi−1,j−ϕi,j（∆y）2当然，在边界上时，采用单向差分：(∂ϕ∂x)i,j=ϕi+1,j−ϕi,j∆x(∂ϕ∂y)i,j=ϕi+1,j−ϕi,j∆y或者向后差分公式：(∂ϕ∂x)i,j=ϕi,j−ϕi−1,j∆x(∂ϕ∂y)i,j=ϕi,j−ϕi−1,j∆y所以，先将雷诺方程写成标准形式：A∂2ϕ∂x2+B∂2ϕ∂y2+C∂ϕ∂x+D∂ϕ∂y=E其中A、B、C、D、E都是常数，将一次、二次导数的展开式带入到上式中可得：ϕi,j=CNϕi,j+1+CSϕi,j−1+CEϕi+1,j+CWϕi−1,j+G其中CN=[B∆y2+D2∆y]K⁄CS=[B∆y2−D2∆y]K⁄CE=[A∆x2+C2∆x]K⁄CW=[A∆x2−C2∆x]K⁄G=−EK,K=2[A∆x2+B∆y2]这样，我们得到了有限差分法的计算方程，对于每一个节点都可以写出这样一个方程，再利用边界上的点满足的边界条件本次matlab算法基于稳态、等温、层流和不可压缩牛顿流体假设的Reynolds方程为∂∂x(h3∂p∂x)+∂∂y(h3∂p∂y)=6ηv∂h∂x展开得到h3∂∂x(∂p∂x)+h3∂∂y(∂p∂y)+h2∂h∂x(∂p∂x)+h2∂h∂y(∂p∂y)=6ηv∂h∂x将h3和∂h∂x求出就可得到形如A∂2ϕ∂x2+B∂2ϕ∂y2+C∂ϕ∂x+D∂ϕ∂y=E求出各点压强之后承载量W=∬pdxdy摩擦力为流体的剪切力F=∬τdxdy其中τ=η∂u∂z=12∂p∂x(2z−h)+(Uh−U0)ηh此时，我们取z=h/2，这样得到τ的平均值