多元函数的Taylor公式与极值问题

高等数学BⅡ吉林大学数学学院第二章多元函数的微分学及其应用一．偏导数二．全微分三．复合函数的微分法四．隐函数微分法五．方向导数与梯度六．多元微分学的几何应用七．多元函数的Taylor公式与极值问题§8多元函数的Taylor公式与极值问题8.1多元函数的Taylor公式8.2多元函数的极值问题8.3条件极值问题8.1多元函数的Taylor公式一元函数)(xf的泰勒公式:20000!2)()()()(hxfhxfxfhxfnnhnxf!)(0)()10(推广多元函数泰勒公式记号(设下面涉及的偏导数连续):),()(00yxfykxh),()(002yxfykxh),()(00yxfykxhm),(),(0000yxfkyxfhyx表示),(),(2),(00200002yxfkyxfkhyxfhyyyxxx),(C000yxyxfkhpmpmpmpmppm•一般地,••表示表示定理8.1),(),(00yxyxfz在点设的某一邻域内有直到n+1阶连续偏导数,),(00yyxx为此邻域内任一点,则有),(),(0000yxfyyxxf),()(00yxfyxyx),()(002!21yxfyxyx),()(00!1yxfyxnyxn),()(001!)1(1yyxxfyxRnyxnn)10(nR其中①②①称为f在点(x0,y0)的n阶泰勒公式,②称为其拉格朗日型余项.nkkyxkyxfyxyxf100!100),()(,证:令),10(),()(00tktyhtxft则),()1(,),()0(0000kyhxfyxf利用多元复合函数求导法则可得:),(),()(0000tkythxfktkythxfhtyx),()()0(00yxfkhyx),()(002tkythxfhtxx),(200tkythxfkhyx),(002tkythxfkyy),()()0(002yxfkhyxykxh,),(C)(000)(tkythxyxfkhtpmpmpmpmppmm一般地,),()()0(00)(yxfkhmyxm由)(t的麦克劳林公式,得将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.定理8.2),(),(00yxyxfz在点设的某一邻域内是类函数,则当),(00yyxxfnnoR其中称为Peano余项,上式称为f(x,y)在(x0,y0)处带有Peano余项的n阶Taylor公式.,),()(,100!100nnkkyxkRyxfyxyxfnC022yx时，有),()(001!)1(1kyhxfkhRnyxnn说明:余项估计式.因f的各n+1阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界M,则有1)(!)1(nnkhnMRsincoskh11)sincos(!)1(nnnM)1(max2]1,0[xx利用11)2(!)1(nnnM)(no2说明：(1)当n=0时,得二元函数的拉格朗日中值公式:),(),(0000yxfkyhxf),(00kyhxfhx),(00kyhxfky)10((2)若函数),(yxfz在区域D上的两个一阶偏导数恒为零,.),(常数yxf由中值公式可知在该区域上定理8.1’设n元函数则)()(00xfxxf,,,,,,,,00201021nnxxxxxxxx其中).()(!11)()(0110!1xxfxmxfxmmkkk,1,0使,,0001xUxxxUCxfm.,,,21nxxxxnxxx,,,21而上式称为f(x)在x0处带有Lagrange余项的n阶Taylor公式.特别地，当x0=0时，又称为Maclaurin公式.kniiikxxx1)(,!!!!21111121kiiiinikininnnnxxxxiiik.1,,2,1mk定理8.2’设n元函数则当)()(00xfxxf.)()()(10!10mmkkkoxfxxf0x时，有,0xUCxfm上式称为f(x)在x0处带有Peano余项的n阶Taylor公式.特别地，当x0=0时，又称为Maclaurin公式.例8.1求函数yxeyxf),(解:对k=1,2,…,n+1有带有Lagrange余项的Maclaurin公式.,,,1,0kieyxfyxiikk所以,10,0iikkyxf由公式有yxeyxf),(,!1!2112nnRyxnyxyx其中.10,!111yxnneyxnRxyz定义8.1设n元函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，若则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.xyzxyz8.2多元函数的极值问题1.极值恒有定理8.3(函数取极值的必要条件)设n元函数f(x)在点x0可偏导,证:以二元函数情况加以证明.的必要条件，有,,,1,000nixxfi且在该点取得极值,则有即.00xf设二元函数f(x,y)在点(x0,y0)可偏导并取得极值，则固定y=y0时，一元函数0,yxfx在点x0可导，并取得极值.据一元函数极值000',xxdxyxdfx同理，有.0,00yyxf.0,00xyxf说明:使偏导数都为0的点称为驻点(或稳定点).例如,但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.由定理8.3知，对可偏导的n元函数，极值点必为驻点.偏导数不存在的点也可能是极值点.例如,在点(0,0)取得极值，但它的两个偏导数在点(0,0)处不存在.通常把使得函数可能取极值的点称为它的可能极值点.显然，可能极值点未必一定是极值点.推论8.1(函数取极值的充分条件)设二元函数,,,002yxUCyxf(x0,y0)是f(x,y)的驻点，记,,,,,,000000yxfCyxfByxfAyyxyxx则(1)当A0,且时，f(x0,y0)是极小值；02BAC(2)当A0,且时，f(x0,y0)是极大值；02BAC(3)当时，f(x0,y0)为不是极值；02BAC(4)当时，不能确定f(x0,y0)是否为极值.02BAC设(x0,y0)是二元函数f(x,y)的驻点．由泰勒公式，在点P0(x0,y0,f(x0,y0))附近，曲面z=f(x,y)可以由二次曲面yxgz,20002000221,yyCyyxxBxxAyxf近似替代．开口向上的椭圆抛物面，f(x0,y0)是g(x,y)及f(x,y)的极小值；开口向下的椭圆抛物面，f(x0,y0)是g(x,y)及f(x,y)的极大值；(1)当A0,且时，z=g(x,y)为顶点在P0，02BAC(2)当A0,且时，z=g(x,y)为顶点在P0，02BAC(3)当时，z=g(x,y)为双曲抛物面，f(x0,y0)不是极值．02BAC几何解释：例8.2求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组ABC的极值.求二阶偏导数,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,06122BAC,0A在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,06122BAC,0)6(122BAC,0A在点(1,2)处不是极值;,0)6(122BACABC函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值求最值的方法：依据2．最大值和最小值(1)先求出f(x)在闭区域内的可能极值点的函数值；(2)再求出f(x)在闭区域边界上的最大，最小值；(3)将这些函数值相比较，其中最大的就是f(x)在闭区域上的最大值，最小的就是f(x)在闭区域上的最小值．在实际问题中，区域不一定是闭区域，但是根据问题的性质可以知道最大(小)值的存在性，并且可以判定最大(小)值在区域的内部取得，那么当内部有唯一的可能极值点时，此点就是最大(小)值点．例8.3设D是由x轴，y轴及直线x+y=6围城的三角形区域，求函数在D上的最大值和最小值．yxyxyxfz4,2yx66oL2L3L1解：１．在D内部求可能极值点．,04,,042,222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得在D内唯一的驻点(2,1),f(2,1)=4.2．考虑D边界上取值情况．如图边界由三条线段组成．在L1:y=0.f(x,y)=0在L2:x=0,f(x,y)=0.60y在L3:y=6-x,.60x.6,0,1226,23xxxxxfxz令,02462'xxz得在(0,6)内的唯一驻点x=4,从而L3上，z在[0,6]上的最大值为0，最小值为-64.比较这些函数值，知函数在D上的最大值为f(2,1)=4，最小值为f(4,2)=-64.例8.4解:设水箱长,宽分别为x,y,z(m),则z=V/xy.则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为V根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的无盖长方体水箱，问怎样选取长宽高，才能用料最省？02),(2xVyyxSx因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.)2,2(33VV32V34V02),(2yVxyxSy8.3条件极值问题1.条件极值无条件极值：对于函数的自变量，除了限制函数的定义域内外并无其他的要求的多元函数极值问题．条件极值：对于函数的自变量，除了限制在函数的定义域内，自变量还受到其他条件的约束(约束条件)的多元函数极值问题．如例8.4,求函数(称为目标函数)在定义域x0,y0,z0中满足约束条件（或称约束方程）的极值问题．把条件极值化为无条件极值.2.Lagrange乘子法定理8.5设函数且若P0是目标函数f(P)在约束条件下的极值点，则存在常数使得即证明：记由方程所确定的曲面为，则点0P设是上过点P0的任意一条光滑tzztyytxx,,:曲线，且点P0所对应的参数t=t0,则按假设f[x(t),y(t),z(t)]必在t0点取得极值，从而,0,,0tttztytxfdtd即.00'00'00'0tzPftyPftxPfzyx记0'0'0',,tztytxs它是曲线上在点P0的切向量.上式又可写成,00sPf即.0sPf由的任意性，知向量垂直于曲面在点P0的切平面.0Pf又因为，知是曲面在点P0的切平面的法向量，所以向量与平行，0Pf故存在常数，使得,00PPf即