矩阵的若尔当标准型及简单应用

哈尔滨师范大学学年论文题目矩阵的若尔当标准型及简单应用学生李小琴指导老师穆强年级2005级专业数学与应用数学系别数学系学院数学与计算机科学学院哈尔滨师范大学07年6月1矩阵的及若尔当标准型及简单应用李小琴摘要：复数域上的每一n阶矩阵都与若尔当标准形式相似，本文论证了矩阵的若尔当标准型及简单应用.关键词：若尔当线性变换矩阵标准定义1设是一个复数，矩阵10000..................00...1000...0100...00（1）其中主对角上的元素都是，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于的一个若尔当（或若尔当块）.当=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵.定理1设是n维向量空间V的一个线性变换，k,...,,21都是的一切互不相同的本征值，那么存在V的一个基，似的关于这个基的矩阵有形状kBBB0021（2）这里iB=iisiiJJJ0021，而iisiiJJJ,...,,21都是属于i的若尔当块，.,...,2,1ki证设的最小多项式是rkkrxxxP)...()()(11，而)(xP在复数域上是不可约的因式分解，这里k,...,,21是互不相同的本征值，krrr,...,,21是正整数，又设iV=kerViri{)(｜0)(iri}，,,...,2,1ki所以空间V有直和分解V=....1kVV对于每一i，令i是—i在iV上的限制，那么i是子空间iV的一个幂零线性变换，而子空间iV可以分解为i一循环子空间的直和：iisiiWWV...1.在每一循环子空间2),...2,1(iijsjW里，取一个循环基，凑成iV的一个基，那么i关于这个基的矩阵有形状iisiiiNNNN0021这里),...,2,1(iijsjN是幂零若尔当块.令|iiV，那么i=i+i，于是对于iV加上基来说，i的矩阵是iiisiiisiiiiiiJJJNNNB0000002121这里iisiiJJJ,...,,21都是属于i的若尔当块.对于每一子空间iV，按以上方式选取一个基，凑起来成为V的基，那么关于这个基的矩阵就是有定理所求的形式（2）.注意在矩阵（2）里，主对角上的第i块B，是|iiV的矩阵.而子空间kVV,...,1显然由唯一确定，而出现在每一iB里的若尔当块iisiiJJJ,...,,21里由i唯一确定的，因而是由唯一确定.定义2形式如mJJJ0021的n阶矩阵，其中每一J都是一个若尔当块，叫做一个若尔当标准形式.例如：2000001000001000001100002,2000001000001000001000002,1100001100001000002100002都是若尔当标准形式.定理2复数域上每一n阶矩阵都与一个当尔当标准形式相似，除了各若尔当块排列的次序外，与A相似的若尔当标准形式是由A唯一确定的.证在一个对角线分块矩阵里，重新排列各个小块矩阵的次序显然得到矩阵，在由若尔当块唯一性得到证明.定理3（1）设V为K上的n维线性空间，线性变换T：VV的特征多项式分解3为K上的一次式的积.rrTnrnTatatatatt)...()(,)...()()(1111，Kaar,...,1，.1),(iijinjiaa这里，V是弱特征空间)(~iaV的直和V=)(~...)(~1raVaV，又})(|{)(~OXaITVxaVIvi，dim)(~iaV=in,T在)(~iaV上的限制T|)(~iaV的特征多项式和最小多项式为.)(,)(iiiniatat（2）设矩阵A（n，n，K）的特征多项式分解为K上一次式的积.detKaaatatatatAtErrAnrnnrr,...,,)...()(,)...()()(1111,.1),(iijinjiaa这时，存在正则矩阵P),,(Knn，)(...)(11raJaJAPP个以上个以上个至少001)1,(...)1,()1,(...)1,(),(...),()(iiiiiiiiiiiaJaJaJaJaJaJaJ方阵J)(ia的结束等于in，构成J)(ia的若尔当的个数等于属于ia的特征空间多项式的维数).1(ri若尔当块矩阵1PAP称为矩阵A的若尔当.注意)(...)(1rqaJaJAPP中的J)(ia，其j阶若尔当块的个数又A唯一确定.例1证明对A，B（n，n，C），存在正则矩阵P，使1PAP=BA和B具有相等的若尔当标准型.证设A和B具有相等的若尔当标准型J，则存在正则矩阵1P，2P，使11PA1P=J，12PB2P=J，令1P12P=P，则P正则接1PAP=B.反之，设已存在正则矩阵P，使1PAP=B，设JAQQ1是若尔当标准型，则JPQAPQ)()(1，故A的若尔当标准型也是J.例2求矩阵C=601151104，603622845131352013D的若尔当标准型，求实矩阵Q使DQQ1成为若尔当矩阵.4解（1）3233)5(1257515||ttttCtE，rank1)5(3EC,故特征空间V（5）的维数是3–rank(C-53E)=2，于是机若尔当块的个数为2，C的若尔当标准型为5515.(2)).2()3(1834||2233tttttDtE方程（D+23E）x=0的通解为1p=uuu=111u.例如，令u=1，得1p=111，dim=V（-2）=1，（D-33E）x=0，的通解是1q=47070vvv，所以属于特征值3的特征空间V（3）的维数是1.故属于特征值3的若尔当块是1个.例如，令v=1，得1q=170，方程（D-33E）x=1q的通解是74721例如，令10，得2q=6101，D1p=-21p，D2q=31q，D2q=1q+32q.故若令Q（1p1q2q），则DQ=（D1pD1qD2q）=（-21p31q1q+32q）=Q3132，所以Q=6411070101，01221AQQ.5参考文献：[1]张禾瑞、郝炳新：高等代数，高等教育出版社，1999年第四版.[2]有马哲、浅枝阳：线性代数讲解，四川人民出版社，1987年版.MatrixAndJordanSummary:EachrankmatrixesofpluralareawithiftheJordanbeastandardformlikeness,thistextargumentmatrixesofifJordanbestandardtypeandinbriefapplied.Keyword:TheJordanthelinetransformationmatrixstandard6学年论文（设计）成绩表论文题目矩阵的若尔当标准型及简单应用作者李小琴指导教师穆强职称讲师指导教师评语该论文具体论述了矩阵的若尔当标准形式的定义、定理、性质及应用。语言表达流畅，论证充分全面，逻辑严密，结构层次清楚，实用性较强。论文整体水平高，有独立分析问题、解决问题的能力。此文是一篇合格的年业论文。指导教师签字等级7