高中数学数列与不等式综合问题放缩法

数列与不等式综合问题一裂项放缩放缩法证明与数列求和有关的不等式中，很多时候要留一手，即采用有保留的方法，保留数列第一项或前两项，从数列第二项或第三项开始放缩，这样才不至于结果放得过大或过小。常见裂项放缩技巧：22111111111211nnnnnn（）2111111111nnnnnnnnn2221444112()44121212121nnnnnnn211111414121nnnnn121211112nnnnnncc21222121121nnnnnnnnnn例1求证（1）变式训练[2016·湖南怀化质检]设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，2Snn＝an＋1－13n2－n－23，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：1a1＋1a2＋…＋1an74.[2014·广东高考]设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且222111731()234nnN231232+.....22222nn231111+++......+12222nSn满足S2n－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1a1＋1＋1a2a2＋1＋…＋1anan＋113.二等比放缩（一般的，形如的数列，求证都可以等比放缩）例4[2014·课标全国卷Ⅱ]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明an＋12是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明1a1＋1a2＋…＋1an32.变式训练【2012.广东理】已知数列{an}满足111221,1nnnsaa（1）求{an}的通项公式（2）证明：对一切正整数n，都有121113...2naaa三伯努利不等式应用及推广对任意的实数*1,11nxxnxnN有伯努利不等式例：求证1111+11+1....1213521nn2311111()21212121nnN例求证：,nnnnnaabaab12111....nkaaa223311113+++.....3-23-23-2322nn23111117++....3-23-23-23214n变式训练【2008，福建理】已知函数ln1fxxx（1）求f（x）的单调区间（2）记f（x）在0,nnN上的最小值是nb，令ln1nnaxb，求证1313211224242......211...nnnaaaaaaaaaaaaa伯努利不等式的推广对任意的实数，例，【2006，江西理】已知数列{an}满足11133,2221nnnnaaanan（1）已知数列{an}满足（2）证明：对于一切正整数n，不等式123...2!naaaan恒成立。四函数放缩常见函数放缩1111ln1,2ln1xxxxxx例：求证1211223....12211111122,ln1...23231nnnnnnnnnn11211,*,11...111nkkknkkxxxkNxxxxn且同号