将军饮马模型

“将军饮马”模型唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后.再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它．起源如图所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线取A关于河岸的对称点A‘，连结A’B，与河岸线相交于C，则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，走的路程就是最短的．如果将军在河边的另外任一点C‘饮马，所走的路程就是AC’+C‘B，但是，AC'+C'B＝A'C'+C'B＞A'B＝A'C+CB＝AC+CB．可见，在C点外任何一点C'饮马，所走的路程都要远一些．这有几点需要说明的：（1）由作法可知，河流l相当于线段AA中垂线,所以AD=A‘D。（2）由上一条知：将军走的路程就是AC+BC，就等于A’C+BC，而两点确定一线，所以C点为最优。解决如图，有A、B两个村庄，他们想在河流l的边上建立一个水泵站，已知每米的管道费用是100元，A到河流的距离AD是1km，B到河流的距离BE是3km，DE长3km。请问这个水泵站应该建立在哪里使得费用最少？解：如图所作，C点为水泵站的位置。应用1解：∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，∴点B、D关于AC对称，连接ED，则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段，∵AB=AD,∠DAB=60°∴∵E为AB的中点∴DE⊥AB，Rt△ABC中，ED=6sin60º=3△ABC是等边三角形3如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为多少?应用2