2015中考复习圆的有关概念及性质

宇轩图书6.1圆的有关概念及性质宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练1．圆的定义有两种方式(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.考点一圆的定义及其性质宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练2．圆的对称性(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．(2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．(3)圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合，这就是圆的旋转不变性.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练1．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．如图，CD是⊙O的直径，AB为弦，CD⊥AB，垂足为E，则AE＝EB，AD＝DB，AC＝BC.考点二垂径定理及推论宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练2．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．温馨提示平分弦的直径不一定垂直于弦，只有被平分的弦不是直径时才互相垂直.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．2．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．考点三圆心角、弧、弦之间的关系宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练1．定义：顶点在圆心的角叫做圆心角；顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．考点四圆心角与圆周角宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练如图，圆周角∠C和圆心角∠AOB都对着AB，则∠C＝12∠AOB.3．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练温馨提示1.圆周角定理的意义在于把圆周角和圆心角这两类不同的角联系在一起.2.同一条弧所对的圆周角相等；同一条弦所对的圆周角相等或互补.3.当已知条件中有直径时，常常作直径所对的圆周角，这是圆中常添加的辅助线.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练1．性质定理1：圆内接四边形的对角互补．2．性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图，四边形ABCD内接于⊙O，则∠A＋∠BCD＝∠B＋∠D＝180°，∠DCE＝∠A.考点五圆内接四边形性质定理宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练1．垂径定理的应用用垂径定理进行计算或证明，常需作出圆心到弦的垂线段(即弦心距)，则垂足为弦的中点，再利用解由半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解的目的．考点六圆的性质的应用宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练2．借助在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角和圆心角相等进行角的等量代换；也可在同圆或等圆中，由相等的圆周角所对的弧(或弦)相等，进行弧(或弦)的等量代换．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点一垂径定理及其推论例1(2013·上海)在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为_________．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练【点拨】如图，过圆心O作AB的垂线交AB于点D，由垂径定理，得AD＝12AB＝2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝AO2－AD2＝5.【答案】5宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练方法总结由垂径定理得出，半径、弦的一半、弦心距组成直角三角形，在这个直角三角形中，已知其中两边，利用勾股定理就可以求出第三边.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点二弧、弦、圆心角的关系例2(2013·厦门)如图，在⊙O中，AB＝AC，∠A＝30°，则∠B＝()A．150°B．75°C．60°D．15°宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练【点拨】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠A＝30°，∴∠B＝12(180°－∠A)＝12(180°－30°)＝75°.故选B.【答案】B宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练方法总结在圆中要证明两条弧、两条弦、两个圆心角中的一组相等时，可以考虑通过说明其他两组量中的一组相等来证明.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点三圆周角定理及其推论例3(2013·淮安)如图，点A，B，C是⊙O上的三点，若∠OBC＝50°，则∠A的度数是()A．40°B．50°C．80°D．100°宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练【点拨】∵OB＝OC，∠OBC＝50°，∴∠OCB＝∠OBC＝50°，∴∠O＝180°－∠OBC－∠OCB＝80°.∵∠O和∠A分别是BC所对的圆心角和圆周角，∴∠A＝12∠O＝40°.故选A.【答案】A宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练方法总结求圆周角的度数，可通过求同弧所对的圆心角的度数得到.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点四垂径定理的应用例4(2013·绍兴)绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为()A．4mB．5mC．6mD．8m宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练【点拨】连接OA，则OA＝OC＝5，OD＝CD－OC＝8－5＝3(m)．在Rt△OAD中，OA2－OD2＝AD2，即52－32＝AD2，解得AD＝4(m)．∵OD⊥AB，由垂径定理可得AB＝2AD＝8(m)．【答案】D宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练方法总结有关在半圆、优弧、劣弧中求相关数量的题目常通过连接半径，利用垂径定理构造直角三角形解答.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是(D)A．CM＝DMB.CB＝DBC．∠ACD＝∠ADCD．OM＝MD宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解析：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，∴M为CD的中点，即CM＝DM，故A成立；B为CD的中点，即CB＝DB，故B成立；在△ACM和△ADM中，∵AM＝AM，∠AMC＝∠AMD＝90°，CM＝DM，∴△ACM≌△ADM，∴∠ACD＝∠ADC，故C成立；而OM与MD不一定相等，故D不成立．故选D.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练2．已知：⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则AB，CD之间的距离为(D)A．17cmB．7cmC．12cmD．17cm或7cm宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解析：分两种情况讨论：(1)当AB，CD在圆心O的同侧时，如图，连接OD，OB，作OF⊥CD于点F，OF交AB于点E，则OE⊥AB.在Rt△OBE中，∠OEB＝90°，OB＝13cm，BE＝12AB＝12(cm)，宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练∴OE＝132－122＝5(cm)．同理OF＝12(cm)．∴EF＝12－5＝7(cm)，即AB，CD之间的距离为7cm.(2)当AB，CD在圆心O的两侧时，同理可得AB，CD之间的距离为17cm.故选D.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练3．如图，OA＝OB＝OC且∠ACB＝30°，则∠AOB的大小是(C)A．40°B．50°C．60°D．70°宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解析：因为OA＝OB＝OC，所以以点O为圆心，以OA为半径作圆，如下图，则有点A，B，C均在圆周上，故有∠AOB＝2∠ACB＝60°.故选C.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练4．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，AD为⊙O的直径，AD＝6，那么BD＝33.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解析：如图，连接CD，则四边形ABCD内接于⊙O.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练∴∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－120°＝60°，又∵AB＝BC，∴∠ADB＝12∠ADC＝30°.又∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD＝90°.∴在Rt△ABD中，BD＝AD·cos30°＝6×32＝33.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练5．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是20mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为16mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为16mm.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解析：如图，设圆心为O，过点O作OD⊥AB于点D，根据题意知，OA＝10mm，OD＝16－10＝6(mm)，根据勾股定理，得AD＝OA2－OD2＝8(mm)，则AB＝2AD＝16(mm)．宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.(1)求证：BD平分∠ABC；(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练证明：(1)∵OD⊥AC，由垂经定理，得OD平分AC，即CD＝AD，∴∠CBD＝∠ABD，即BD平分∠ABC.(2)连接OC，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB＝30°.由(1)，得∠OBC＝2∠OBD＝60°，又OC＝OB，∴△OCB为等边三角形．∴BC＝OC＝OD.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点训练宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练一、选择题(每小题4分，共48分)1．(2013·泰安)如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABO＝32°，∠ACO＝38°，则∠BOC等于(D)A．60°B．70°C．120°D．140°宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解析：连接OA，∵OA＝OC＝OB，∠ABO＝32°，∠ACO＝38°，∴∠OAC＝∠ACO＝38°，∠OAB＝∠ABO＝32°，∴∠BAC＝∠OAC＋∠OAB＝38°＋32°＝70°.又∵∠BOC和∠BAC分别是BC所对的圆心角和圆周角，∴∠BOC＝2∠BAC＝140°.故选D.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练2．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是(D)A．80°B．160°C．100°D．80°或100°宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练3．(2013·德阳)如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF＝20°，则∠EOD等于(C)A．10°B．20°C．40°D．80°解析：由垂径定理，可得DE＝DF，再根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得∠EOD＝2∠DCF＝40°.故选C.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练4．(2013·苏州)如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于(C)A．55°B．60°C．65°D．70°宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练解析：连接BD，∵点D是AC的中点，∠ABC＝50°，∴∠ABD＝12∠ABC＝25°.∵AB是半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°.故选C.宇轩图书考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练5．(2013·宜昌)如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点F，连接BC