2007年安徽卷数学（理科）含答案

2007年普通高等学校招生考试安徽理科数学卷2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3.答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．书写。在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。4.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)S=4Πr2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A·B)=P(A)+P(B)球的体积公式1+2+…+n2)1(nnV=334R12+22+…+n2=6)12)(1(nnn其中R表示球的半径13+23++n3=4)1(22nn第Ⅰ卷（选择题共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)下列函数中，反函数是其自身的函数为(A),0,)(3xxxf（B）,,)(3xxxf(C)),(,)(xcxfx(D)),0(,1)(xxxf(2)设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是lm且“ln”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件(C)充分必要条件（D）既不充分也不必要条件(3)若对任意xR,不等式x≥ax恒成立，则实数a的取值范围是(A)a＜-1(B)a≤1(C)a＜1（D）a≥1（4）若a为实数，iai212＝-2I，则a等于（A）2（B）-2（C）22（D）-22（5）若2228xAx，2Rlog1Bxx，则)(CRBA的元素个数为（A）0（B）1（C）2（D）3（6）函数)3π2sin(3)(xxf的图象为C①图象C关于直线1211x对称;②函灶)(xf在区间)12π5,12π(内是增函数;③由xy2sin3的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C.（A）0（B）1（C）2（D）3（7）如果点P在平面区域02012022yxyxyx上，点Q在曲线1)2(22yx上，那么QP的最小值为（A）15（B）154（C）122（D）12（8）半径为1的球面上的四点DCBA,,,是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面距离为（A）)33arccos(（B）)36arccos(（C）)31arccos(（D）)41arccos(（9）如图，1F和2F分别是双曲线)0,0(12222babrax的两个焦点，A和B是以O为圆心，以1FO为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ABF2是等边三角形，则双曲线的离心率为（A）3（B）5（C）25（D）31（10）以)(x表示标准正态总体在区间（x,）内取值的概率，若随机变量服从正态分布),(2N，则概率)(P等于（A）)(-)(（B）)1()1(（C）)1(（D）)(2（11）定义在R上的函数)(xf既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程0)(xf在闭区间TT,上的根的个数记为n，则n可能为（A）0（B）1（C）3（D）5(在此卷上答题无效)绝密★启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)第Ⅱ卷(非选择题共95分)注意事项:请用0.5毫米黑色水签字笔在答题卡．．．上书写作答,在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．.二、填空题:本大共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置.(12)若(2x3+x1)a的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于.（13）在四面体O-ABC中，DcOCbOBaAB,,,为BC的中点，E为AD的中点，则OE=（用a，b，c表示）.（14）如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1,△Q2P1P2,…,△Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为.(15)在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号．．）.①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.三、解答题：本大题共6小题，共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（16）（本小题满分12分）已知0＜a＜)82cos()(,4xxf为的最小正周期，),1),41(tan(aa求sincos)(2sincos22.(17)(本小题满分14分)如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.（Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；（Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；（Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值圾示）.(18)(本小题满分14分)设a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx（x0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x1时，恒有xln2x－2alnx＋1.(19)(本小题满分12分)如图，曲线G的方程为y2=20（y≥0）.以原点为圆心，以t（t0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值.(20)(本小题满分13分)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇．．．．．的只数.（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；（Ⅱ）求数学期望Eξ；（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）.(21)(本小题满分14分)某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）a－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出Tn与Tn－1（n≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列.2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分55分．1．Ｄ2．Ａ3．Ｂ4．Ｂ5．Ｃ6．Ｃ7．Ａ8．Ｃ9．Ｄ10．Ｂ11．Ｄ二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．12．713．111244abc14．1315．①③④⑤三、解答题16．本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．本小题满分12分．解：因为为π()cos28fxx的最小正周期，故π．因m·ab，又1costan24ab··．故1costan24m·．由于π04，所以222cossin2()2cossin(22π)cossincossin22cossin22cos(cossin)cossincossin1tanπ2cos2costan2(2)1tan4m·．17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分．解法1（向量法）：以D为原点，以1DADCDD，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz如图，则有1111(200)(220)(020)(102)(112)(012)(002)ABCABCD，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．（Ⅰ）证明：1111(110)(220)(110)(220)ACACDBDB，，，，，，，，，，，∵．111122ACACDBDB，∴．AC∴与11AC平行，DB与11DB平行，于是11AC与AC共面，11BD与BD共面．（Ⅱ）证明：1(002)(220)0DDAC，，，，··，(220)(220)0DBAC，，，，··，1DDAC∴，DBAC．1DD与DB是平面11BBDD内的两条相交直线．AC∴平面11BBDD．又平面11AACC过AC．∴平面11AACC平面11BBDD．（Ⅲ）解：111(102)(112)(012)AABBCC，，，，，，，，．设111()xyz，，n为平面11AABB的法向量，ABCD1A1B1C1Dxyz11120AAxzn·，111120BBxyzn·．于是10y，取11z，则12x，(201)，，n．设222()xyz，，m为平面11BBCC的法向量，122220BBxyzm·，12220CCyzm·．于是20x，取21z，则22y，(021)，，m．1cos5，mnmnmn·．∴二面角1ABBC的大小为1πarccos5．解法2（综合法）：（Ⅰ）证明：1DD∵平面1111ABCD，1DD平面ABCD．1DDDA∴，1DDDC，平面1111ABCD∥平面ABCD．于是11CDCD∥，11DADA∥．设EF，分别为DADC，的中点，连结11EFAECF，，，有111111AEDDCFDDDEDF，，，∥∥．11AECF∴∥，于是11ACEF∥．由1DEDF，得EFAC∥，故11ACAC∥，11AC与AC共面．过点1B作1BO平面ABCD于点O，则1111BOAEBOCF，∥∥，连结OEOF，，于是11OEBA∥，11OFBC∥，OEOF∴．1111BAAD∵，OEAD∴．1111BCCD∵，OFCD∴．所以点O在BD上，故11DB与DB共面．ABCD1A1B1C1DMOEF（Ⅱ）证明：1DD∵平面ABCD，1DDAC∴，又BDAC（正方形的对角线互相垂直），1DD与BD是平面11BBDD内的两条相交直线，AC∴平面11BBDD．又平面11AACC过AC，∴平面11AACC平面11BBDD．（Ⅲ）解：∵直线DB是直线1BB在平面ABCD上的射影，ACDB，根据三垂线定理，有1ACBB．过点A在平面11ABBA内作1AMBB于M，连结MCMO，，则1BB平面AMC，于是11BBMCBBMO，，所以，AMC是二面角1ABBC的一个平面角．根据勾股定