2007年广东卷数学（理科）含答案

绝密★启用前2007年普通高等艺术招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式shV31，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。如果事件A、B互斥，那么)()()(BPAPBAP.如果事件A、B相互独立，那么)()()(BPAPBAP.用最小工乘法求线性回归方程系数公式xbyaxnixyxnxiyinini,2121.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.1.已知函数xxf11)(的定义域为M，)1ln()(xxg的定义域为N，则NMA.1xxB.1xxC.11xxD.2.若复数)2)(1(ibi是纯虚数（i是虚数单位，b是实数）则b＝A.2B.21C.21D.-23.若函数是则)(R),(21sin)(2xfxxxfA.最小正周期为2的奇函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为2的偶函数D.最小正周期为的偶函数4.客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是5.已知数|an|的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5an8,则k=A.9B.8C.7D.66.图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、…、A10（如A2表示身高（单位：cm）（150，155）内的学生人数）.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A.i6B.i7C.i8D.i97.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为A.15B.16C.17D.188.设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b∈S，对于有序元素对（a,b）,在S中有唯一确定的元素a*b与之对应），若对任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是A.（a*b）*a=aB.［a*(b*a)］*(a*b)=aC.b*(b*b)=bD.(a*b)*［b*(a*b)］=b二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分.9.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为.（答案用分数表示）10.若同量a、b满足baba与,1的夹角为120°，则··aaab＝.11.在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（2，1），若线段OA的垂直平分线过抛物线)0(22ppxy的焦点，则该抛物线的准线方程是.12.如果一个凸多面体n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条.这些直线中共有)(nf对异面直线，则)4(f＝图4;)(nf＝.（答案用数字或n的解析式表示）13.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为)(33Rttytx参数，圆C的参数方程为)20(2sin2cos2，参数yx，则题C的圆心坐标为，圆心到直线l的距离为.14.（不等式选讲选做题）设函数)2(,312)(fxxxf则＝;若2)(xf，则x的取值范围是.15.（几何证明选讲选做题）如图5所法，圆O的直径6AB，C为圆周上一点，3BC，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则∠DAC＝，线段AE的长为.图5三、解答题：本大题共有6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知△ABC顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(cCBA、、.（1）若5c，求sin∠A的值;（2）若∠A是钝角，求c的取值范围.17.(本题满分12分)下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.x3456y2.5344.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=axb;（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5）18.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆9222yax＝1与圆C的一个交点到椭圆两点的距离之和为10.（1）求圆C的方程.（2）试探安C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点P的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分14分）如图6所示，等腰△ABC的底边AB=66,高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记BE＝x，V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积.（1）求V(x)的表达式；（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？（3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值20.（本小题满分14分）已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间［-1,1］上有零点，求a的取值范围.21.（本小题满分14分）已知函数f(x)=x2+x-1,α、β是方程f(x)=0的两个根（αβ）.f′(x)是f(x)的导数.设a1＝1，an+1=an-)()(nnafaf(n=1,2,…).(1)求α、β的值；(2)证明：任意的正整数n，都有ana;(3)记bn-nnaaln(n=1,2,…),求数列{bn}的前n项和Sn.2007年普通高等学校全国招生统一考试(广东卷)数学(理科)参考答案一、选择题题号12345678答案CADDBCBA二、填空题9.9110.2111.x=-2512.2)1(nn，12，2)1)(2(nnn13.(0，2)，2214.[-1，1]15.30°，3三、解答题16.解：(1)(3,4)AB,(3,4)ACc当c=5时，(2,4)AC6161coscos,5255AACAB进而225sin1cos5AA(2)若A为钝角，则AB﹒AC=-3(c-3)+(-4)20解得c325显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为[325，+)17.解：(1)如下图01234567012345产量能耗(2)yxinii1=32.5+43+54+64.5=66.5x=46543=4.5y=45.4435.2=3.5nixi12=32+42+52+62=86266.544.53.566.563ˆ0.78644.58681bˆˆ3.50.74.50.35aYbX故线性回归方程为y=0.7x+0.35(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7100+0.35=70.35故耗能减少了90-70.35=19.65(吨)18.解：(1)设圆心坐标为(m，n)（m0，n0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则2nm=22即nm=4①又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得m2+n2=8②联立方程①和②组成方程组解得22nm92y252x故圆的方程为(x+2)2+y2=8(2)a=5，∴a2=25，则椭圆的方程为+=1其焦距c=925=4，右焦点为(4，0)，那么OF=4。要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于OF的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。通过联立两圆的方程解得x=54，y=512即存在异于原点的点Q(54，512)，使得该点到右焦点F的距离等于OF的长。19.解：(1)已知EFAB,那么翻折后，显然有PEEF,又PEAE,从而PE面ABC,即PE为四棱锥的高。四棱锥的底面积S=SABC-SBEF而△BEF与△BDC相似，那么SBEF=)63(2xSBDC=)63(2x2SABC=1082SxABC则S=SABC-1082SxABC=（1-1082x）21663=96（1-1082x）故四棱锥的体积V(x)=31SH=3196（1-1082x）=36（1-1082x）(0x36)(2)V’(x)=36-126x2(0x36)令V’(x)=0得x=6当x∈(0，6)时，V’(x)0,V(x)单调递增；x∈(6，36)时V’(x)0,V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值V(x)max=V(6)=126(3)7220.解：当a=0时，函数为f(x)=2x-3，其零点x=23不在区间[-1，1]上。当a≠0时，函数f(x)在区间[-1，1]分为两种情况：①函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时0)1)(5()1()1(0)3(84aaffaa或12110)3(84aaa解得1≤a≤5或a=273②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时208244011121010aaaaff或208244011121010aaaaff解得a5或a273综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a的取值范围为273(-∞,]∪[1,+∞)21.解：(1)解方程x2+x-1=0得x=251由β知=251,β=2511212aann1212aaannnan(2)f’(x)=2x+1an1=-=下面我们用数学归纳法来证明该结论成立①当n=1时，a1=1251=成立，②假设n=k(k≥1,k∈N*)时，结论也成立，即ak成立，③那么当n=k+1时，ak1=1212aakk=ak21-41+)12(45a