2007年山东卷数学（文科）含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．1．复数43i1+2i的实部是（）A．2B．2C．3D．42．已知集合11{11}|242xMNxxZ，，，，则MN（）A．{11}，B．{0}C．{1}D．{10}，3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④4．要得到函数sinyx的图象，只需将函数cosyx的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位5．已知向量(1)(1)nn，，，ab，若2ab与b垂直，则a（）A．1B．2C．2D．46．给出下列三个等式：()()()()()()fxyfxfyfxyfxfy，，()()()1()()fxfyfxyfxfy．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．()3xfxB．()sinfxxC．2()logfxxD．()tanfxx7．命题“对任意的3210xxxR，≤”的否定是（）①正方形②圆锥③三棱台④正四棱锥A．不存在3210xRxx，≤B．存在3210xRxx，≤C．存在3210xRxx，D．对任意的3210xRxx，8．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可以分析出x和y分别为（）A．0.935，B．0.945，C．0.135，D．0.145，9．设O是坐标原点，F是抛物线22(0)ypxp的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60，则OA为（）A．214pB．212pC．136pD．1336p10．阅读右边的程序框，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是（）A．2550，2500B．2550，2550C．2500，2500D．2500，255011．设函数3yx与212xy的图象的交点为00()xy，，则0x所在的区间是（）A．(01)，B．(12)，C．(23)，D．(34)，12．设集合{12}{123}AB，，，，，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点()Pab，，记“点()Pab，落在直线xyn上”为事件(25)nCnnN≤≤，，若事件nC的概率最大，则n的所有可能值为（）A．3B．4C．2和5D．3和4013141516171819秒频率0.020.040.060.180.340.36开始输入n00ST，2?x1nnTTn1nn结束输出S，TSSn否是第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上．13．设函数1()fx21323()()xfxxfxx，，，则123(((2007)))fff．14．函数1(01)xyaaa，的图象恒过定点A，若点A在直线10(0)mxnymn上，则11mn的最小值为．15．当(12)x，时，不等式240xmx恒成立，则m的取值范围是．16．与直线20xy和曲线221212540xyxy都相切的半径最小的圆的标准方程是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在ABC△中，角ABC，，的对边分别为tan37abcC，，，．（1）求cosC；（2）若52CBCA，且9ab，求c．18．（本小题满分12分）设{}na是公比大于1的等比数列，nS为数列{}na的前n项和．已知37S，且123334aaa，，构成等差数列．（1）求数列{}na的等差数列．（2）令31ln12nnban，，，，求数列{}nb的前n项和T．19．（本小题满分12分）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？20．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCDABCD中，已知122DCDDADAB，ADDCABDC⊥，∥．（1）求证：11DCAC⊥；（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使1DE∥平面BCDA1A1D1C1B1ABD，并说明理由．21．（本小题满分12分）设函数2()lnfxaxbx，其中0ab．证明：当0ab时，函数()fx没有极值点；当0ab时，函数()fx有且只有一个极值点，并求出极值．22．（本小题满分14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线:lykxm与椭圆C相交于AB，两点（AB，不是左右顶点），且以AB为直径的图过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东文卷）答案一、选择题1．B2．C3．D4．A5．C6．B7．C8．A9．B10．A11．B12．D二、填空题13．1200714．115．5m≤16．22(2)(2)2xy三、解答题17．解：（1）sintan3737cosCCC，又22sincos1CC解得1cos8C．tan0C，C是锐角．1cos8C．（2）52CBCA，5cos2abC，20ab．又9ab22281aabb．2241ab．2222cos36cababC．6c．18．解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2aaaaaa，解得22a．设数列{}na的公比为q，由22a，可得1322aaqq，．又37S，可知2227qq，即22520qq，解得12122qq，．由题意得12qq，．11a．故数列{}na的通项为12nna．（2）由于31ln12nnban，，，，由（1）得3312nna3ln23ln2nnbn又13ln2nnnbb{}nb是等差数列．12nnTbbb1()2(3ln23ln2)23(1)ln2.2nnbbnnn故3(1)ln22nnnT．19．解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得3005002009000000.xyxyxy≤，≤，≥，≥目标函数为30002000zxy．二元一次不等式组等价于3005290000.xyxyxy≤，≤，≥，≥作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图：0100200300100200300400500yxlM作直线:300020000lxy，即320xy．平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．联立30052900.xyxy，解得100200xy，．点M的坐标为(100200)，．max30002000700000zxy（元）答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．20．（1）证明：在直四棱柱1111ABCDABCD中，连结1CD，1DCDD，四边形11DCCD是正方形．11DCDC⊥．又ADDC⊥，11ADDDDCDDD⊥，⊥，AD⊥平面11DCCD，1DC平面11DCCD，1ADDC⊥．1ADDC，平面1ADC，且ADDCD⊥，1DC⊥平面1ADC，又1AC平面1ADC，1DCAC1⊥．（2）连结1AD，连结AE，设11ADADM，BCDA1A1D1C1BBCDA1A1D1C1BMEBDAEN，连结MN，平面1ADE平面1ABDMN，要使1DE∥平面1ABD，须使1MNDE∥，又M是1AD的中点．N是AE的中点．又易知ABNEDN△≌△，ABDE．即E是DC的中点．综上所述，当E是DC的中点时，可使1DE∥平面1ABD．21．证明：因为2()ln0fxaxbxab，，所以()fx的定义域为(0)，．()fx222baxbaxxx．当0ab时，如果00()0()abfxfx，，，在(0)，上单调递增；如果00()0()abfxfx，，，在(0)，上单调递减．所以当0ab，函数()fx没有极值点．当0ab时，222()bbaxxaafxx令()0fx，将1(0)2bxa，（舍去），2(0)2bxa，，当00ab，时，()()fxfx，随x的变化情况如下表：x02ba，2ba2ba，()fx0()fx极小值从上表可看出，函数()fx有且只有一个极小值点，极小值为1ln222bbbfaa．当00ab，时，()()fxfx，随x的变化情况如下表：x02ba，2ba2ba，()fx0()fx极大值从上表可看出，函数()fx有且只有一个极大值点，极大值为1ln222bbbfaa．综上所述，当0ab时，函数()fx没有极值点；当0ab时，若00ab，时，函数()fx有且只有一个极小值点，极小值为1ln22bba．若00ab，时，函数()fx有且只有一个极大值点，极大值为1ln22bba．22．解：（1）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab，由已知得：31acac，，222213acbac，，椭圆的标准方程为22143xy．（2）设1122()()AxyBxy，，，．联立221.43ykxmxy，得222(34)84(3)0kxmkxm，则22222212221226416(34)(3)03408344(3).34mkkmkmmkxxkmxxk，即，，又22221212121223(4)()()()34mkyykxmkxmkxxmkxxmk．因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D，，1ADBDkk，即1212122yyxx．1212122()40yyxxxx．2222223(4)4(3)1540343434mkmmkkkk．2271640mmkk．解得：12227kmkm，，且均满足22340km．当12mk时，l的方程(2)ykx，直线过点(20)，，与已知矛盾；当227km时，l的方程为27ykx，直线过定点207，．所以，直线l过定点，定点坐标为207，．