2007年山东卷数学（理科）含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．（1）若cosisinz（i为虚数单位），则使21z的值可能是（）A．6B．4C．3D．2（2）已知集合11M，，11242xNxxZ，，则MN（）A．11，B．1C．0D．10，（3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④（4）设11132a，，，，则使函数ayx的定义域为R且为奇函数的所有a值为（）A．1，3B．1，1C．1，3D．1，1，3（5）函数sin2cos263yxx的最小正周期和最大值分别为（）A．，1B．，2C．2，1D．2，2（6）给出下列三个等式：()()()fxyfxfy，()()()fxyfxfy，()()()1()()fxfyfxyfxfy，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．()3xfxB．()sinfxxC．2()logfxxD．()tanfxx（7）命题“对任意的xR，3210xx≤”的否定是（）①正方形②圆锥③三棱台④正四棱锥A．不存在xR，3210xx≤B．存在xR，3210xx≤C．存在xR，3210xxD．对任意的xR，3210xx（8）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为（）A．0.9，35B．0.9，45C．0.1，35D．0.1，45（9）下列各小题中，p是q的充要条件的是（）①p：2m或6m；q：23yxmxm有两个不同的零点．②():1()fxpfx；:()qyfx是偶函数．③:coscosp；:tantanq．④:pABA；:UUqBA痧．A．①②B．②③C．③④D．①④（10）阅读右边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是（）A．2500，2500B．2550，2550C．2500，2550D．2550，2500`（11）在直角ABC△中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（）A．2ACACABB．2BCBABCC．2ABACCDD．22()()ACABBABCCDAB（12）位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P移动五次后位`于点(23)，的概013141516171819秒频率/组距0.360.340.180.060.040.02开始输入n22x1nnTTn1nn结束输出ST，ssn否00ST，率是（）A．212B．3231C2C．2231C2D．312231CC2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案须填在题中横线上．（13）设O是坐标原点，F是抛物线22(0)ypxp的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60，则OA为．（14）设D是不等式组21023041xyxyxy≤，≥，≤≤，≥表示的平面区域，则D中的点()Pxy，到直线10xy距离的最大值是．（15）与直线20xy和曲线221212540xyxy都相切的半径最小的圆的标准方程是．（16）函数log(3)1ayx(01)aa且，的图象恒过定点A，若点A在直线10mxny上，其中0mn，则12mn的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）设数列na满足211233333nnnaaaa…，a*N．（Ⅰ）求数列na的通项；（Ⅱ）设nnnba，求数列nb的前n项和nS．（18）（本小题满分12分）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程20xbxc实根的个数（重根按一个计）．（Ⅰ）求方程20xbxc有实根的概率；（Ⅱ）求的分布列和数学期望；（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20xbxc有实根的概率．（19）（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCDABCD中，已知122DCDDADAB，ADDC，ABDC∥．（Ⅰ）设E是DC的中点，求证：1DE∥平面11ABD；（Ⅱ）求二面角11ABDC的余弦值．（20）（本小题满分12分）如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？（21）（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线:lykxm与椭圆C相交于A，B两点（AB，不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．（22）（本小题满分14分）设函数2()ln(1)fxxbx，其中0b．（Ⅰ）当12b时，判断函数()fx在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数()fx的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式23111ln1nnn都成立．BCDA1A1D1C1BE北1B2B1A2A120105乙甲2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学参考答案第Ⅰ卷一、选择题（1）D（2）B（3）D（4）A（5）A（6）B（7）C（8）A（9）D（10）D（11）C（12）B第Ⅱ卷二、填空题（13）212p（14）42（15）22(2)(2)2xy（16）8三、解答题（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）211233333nnnaaaa…，①当2n≥时，22123113333nnnaaaa…．②①-②得1133nna，13nna．在①中，令1n，得113a．13nna．（Ⅱ）nnnba，3nnbn．23323333nnSn…，③23413323333nnSn…．④④-③得12323(3333)nnnSn…．即13(13)2313nnnSn，1(21)3344nnnS．（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知：设基本事件空间为，记“方程20xbxc没有实根”为事件A，“方程20xbxc有且仅有一个实根”为事件B，“方程20xbxc有两个相异实数”为事件C，则()126bcbc，，，，…，，2()40126Abcbcbc，，，，，…，，2()40126Bbcbcbc，，，，，…，，2()40126Cbcbcbc，，，，，…，，所以是的基本事件总数为36个，A中的基本事件总数为17个，B中的基本事件总数为2个，C中的基本事件总数为17个．又因为BC，是互斥事件，故所求概率21719()()363636PPBBC．（Ⅱ）由题意，的可能取值为012，，，则17036P，1118P，17236P，故的分布列为：012P17361181736所以的数学期望171170121361836E．（Ⅲ）记“先后两次出现的点数有中5”为事件D，“方程20xbxc有实数”为事件E，由上面分析得11()36PD，7()36PDE，()7()()11PDEPEDPD．（19）（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）连结BE，则四边形DABE为正方形，11BEADAD，且11BEADAD∥∥，四边形11ADEB为平行四边形．11DEAB∥．又1DE平面1ABD，1AB平面1ABD，1DE∥平面1ABD．（Ⅱ）以D为原点，1DADCDD，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1DA，则(000)D，，，(100)A，，，(110)B，，，(022)C，，，1(102)A，，，1(102)DA，，，(110)DB，，，设()xyz，，n为平面1ABD的一个法向量．由1DAn，DBn，得200.xzxy，取1z，则(231)，，n．又2(023)DC，，，(110)DB，，，设111()xyz，，m为平面1CBD的一个法向量，由DCm，DBm，得11112200.yzxy，取11z，则(111)，，m，设m与n的夹角为a，二面角11ABDC为，显然为锐角，33cos393mnmn．3cos3，BCDA1A1D1C1BEGBCDA1A1D1C1BEzyxFM即所求二面角11ABDC的余弦为33．解法二：（Ⅰ）以D为原点，1DADCDD，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设DAa，由题意知：(000)D，，，(00)Aa，，，(0)Baa，，，(020)Ca，，，1(022)Caa，，，1(02)Aaa，，，1(002)Da，，，(00)Ea，，．1(02)DEaa，，，1(02)DAaa，，，(0)DBaa，，，又(02)(0)(02)aaaaaa，，，，，，，1DEDBDA．1DADB，平面1ABD，1DE平面1ABD，1DE∥平面1ABD．（Ⅱ）取DB的中点F，1DC的中点M，连结1AF，FM，由（Ⅰ）及题意得知：022aaF，，，(0)Maa，，，1222aaFAa，，，22aaFMa，，，12(0)022aaFADBaaa，，，，，(0)022aaFMDBaaa，，，，．1FADB，FMDB，1AFM∠为所求二面角的平面角．111cosFAFMAFMFAFM∠BCDA1A1D1C1BExyzFM2222232622aaaaaaaa，，，，222223443332aaaa．所以二面角11ABDC的余弦值为33．解法三：（Ⅰ）证明：如解法一图，连结1AD，AE，设11ADADG，AEBDF，连结GF，由题意知G是1AD的中点，又E是CD的中点，四边形ABED是平行四边形，故F是AE的中点，在1AED△中，1GFDE∥，又GF平面1ABD，1DE平面1ABD，1DE∥平面1ABD．（Ⅱ）如图，在四边形ABCD中，设ADa，ABAD，ADDC，ABDC∥，ADAB．故2BDa，由（Ⅰ）得2222222BCBEECaaa，2DCa，90DBC∠，即BDBC．又1BDBB，BD平面11BCCB，又1BC平面11BCCB，1BDBC，取1DC的中点M，连结1AF，FM，BCDA1A1D1C1BEFMH由题意知：1FMBC∥，FMBD．又11ADAB，1AFBD．1AFM