2007年四川卷数学（理科）含祥解

2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球是表面积公式)()()(BPAPBAP24RS如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径)()()(BPAPBAP球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么334RVn次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径knkknnPPCkP)1()(一．选择题：(1)复数211iii的值是（A）0(B)1(C)-1(D)1(2)函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是(3)2211lim21xxxx（A）0(B)1(C)21(D)32(4)如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误．．的是（A）BD∥平面CB1D1（B）AC1⊥BD（C）AC1⊥平面CB1D1（D）异面直线AD与CB1角为60°（5）如果双曲线12422yx上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是（A）364（B）362（C）62（D）32（6）设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是2，且三面角B-OA-C的大小为3，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是（A）67（B）45（C）34（D）23（7）设A｛a,1｝，B｛2，b｝，C｛4,5｝，为坐标平面上三点，O为坐标原点，若方向在与OCOBOA上的投影相同，则a与b满足的关系式为(A)354ba(B)345ba(C)1454ba(D)1445ba（8）已知抛物线32xy上存在关于直线0yx对称的相异两点A、B，则|AB|等于（A）3（B）4（C）23（D）24（9）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（A）36万元（B）31.2万元（C）30.4万元（D）24万元（10）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（A）288个（B）240个（C）144个（D）126个（11）如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是（A）32（B）364（C）4173（D）3212（12）已知一组抛物线1212bxaxy，其中a为2,4,6,8中任取的一个数，b为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是（A）121（B）607（C）256（D）255二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上.（13）若函数f(x)=e-(m-u)2(c是自然对数的底数)的最大值是m,且f(x)是偶函数，则m+u=.(14)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是.(15)已知⊙O的方程是x2+y2-2=0,⊙O’的方程是x2+y2-8x+10=0,由动点P向⊙O和⊙O’所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是.(16)下面有五个命题：①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.②终边在y轴上的角的集合是{a|a=Zkk,2|.③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.④把函数.2sin36)32sin(3的图象得到的图象向右平移xyxy⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔xy其中真命题的序号是（写出所言）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知0,1413)cos(,71cos且2,(Ⅰ)求2tan的值.（Ⅱ）求.（18）（本小题满分12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望E，并求该商家拒收这批产品的概率.（19）（本小题满分12分）如图，PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°.（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC;（Ⅱ）求二面角BACM的大小;（Ⅲ）求三棱锥MACP的体积.（20）（本小题满分12分）设1F、2F分别是椭圆1422yx的左、右焦点.（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求1PF·2PF的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点)2,0(M的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.已知函数42)(xxf,设曲线)(xfy在点()处的切线与x轴线发点()()其中xn为实数（21）（本小题满分12分）(22)(本小题满分14分)设函数),1,(11)(NxnNnnxfn且.(Ⅰ)当x=6时,求nn11的展开式中二项式系数最大的项;(Ⅱ)对任意的实数x,证明2)2()2(fxf＞);)()()((的导函数是xfxfxf(Ⅲ)是否存在Na,使得an＜nkk111＜na)1(恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学参考答案一．选择题：本题考察基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分（1）A（2）C（3）D（4）D（5）A（6）C（7）A（8）C（9）B（10）B（11）D（12）B二．填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分（13）1（14）6（15）32x（16）①④三．解答题：（17）本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。解：（Ⅰ）由1cos,072，得22143sin1cos177∴sin437tan43cos71，于是222tan24383tan21tan47143（Ⅱ）由02，得02又∵13cos14，∴221333sin1cos11414由得：coscoscoscossinsin113433317147142所以3（18）本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力。解：（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A用对立事件A来算，有4110.20.9984PAPA（Ⅱ）可能的取值为0,1,22172201360190CPC，11317220511190CCPC，2322032190CPC136513301219019019010E记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率136271119095PPB012P136190511903190所以商家拒收这批产品的概率为2795（19）本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。解法一：（Ⅰ）∵,,PCABPCBCABBCB∴PCABC平面，又∵PCPAC平面∴PACABC平面平面（Ⅱ）取BC的中点N，则1CN，连结,ANMN，∵//PMCN，∴//MNPC，从而MNABC平面作NHAC，交AC的延长线于H，连结MH，则由三垂线定理知，ACNH，从而MHN为二面角MACB的平面角直线AM与直线PC所成的角为060∴060AMN在ACN中，由余弦定理得2202cos1203ANACCNACCN在AMN中，3cot313MNANAMN在CNH中，33sin122NHCNNCH在MNH中，123tan332MNMNMHNNH故二面角MACB的平面角大小为23arctan3（Ⅲ）由（Ⅱ）知，PCMN为正方形∴0113sin1203212PMACAPCMAMNCMACNVVVVACCNMN解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）在平面ABC内，过C作CDCB，建立空间直角坐标系Cxyz（如图）由题意有31,,022A，设000,0,0Pzz，则000310,1,,,,,0,0,22MzAMzCPz由直线AM与直线PC所成的解为060，得0cos60AMCPAMCP，即2200032zzz，解得01z∴310,0,1,,,022CMCA，设平面MAC的一个法向量为111,,nxyz，则1111031022yzyz，取11x，得1,3,3n平面ABC的法向量取为0,0,1m设m与n所成的角为，则3cos7mnmn显然，二面角MACB的平面角为锐角，故二面角MACB的平面角大小为21arccos7（Ⅲ）取平面PCM的法向量取为11,0,0n，则点A到平面PCM的距离1132CAnhn∵1,1PCPM，∴1113311326212PMACAPCMVVPCPMh（20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。解：（Ⅰ）解法一：易知2,1,3abc所以123,0,3,0FF，设,Pxy，则22123,,3,3PFPFxyxyxy2221133844xxx因为2,2x，故当0x，即点P为椭圆短轴端点时，12PFPF有最小值2当2x，即点P为椭圆长轴端点时，12PFPF有最大值1解法二：易知2,1,3abc，所以123,0,3,0FF，设,Pxy，则22212121212121212cos2PFPFFFPFPFPFPFFPFPFPFPFPF2222221331232xyxyxy（以下同解法一）（Ⅱ）显然直线0x不满足题设条件，可设直线1222:2,,,,lykxAxyBxy，联立22214