2007年上海卷数学(文科)含答案

1CCB1B1AA2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程9131x的解是．2．函数11)(xxf的反函数)(1xf．3．直线014yx的倾斜角．4．函数πseccos2yxx的最小正周期T．5．以双曲线15422yx的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是．6．若向量ab，的夹角为60，1ba，则aab．7．如图，在直三棱柱111CBAABC中，90ACB，21AA，1BCAC，则异面直线BA1与AC所成角的大小是（结果用反三角函数值表示）．8．某工程由ABCD，，，四道工序组成，完成它们需用时间依次为254x，，，天．四道工序的先后顺序及相互关系是：AB，可以同时开工；A完成后，C可以开工；BC，完成后，D可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C需要的天数x最大是．9．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．10．对于非零实数ab，，以下四个命题都成立：ABlC①01aa；②2222)(bababa；③若||||ba，则ba；④若aba2，则ba．那么，对于非零复数ab，，仍然成立的命题的所有序号是．11．如图，AB，是直线l上的两点，且2AB．两个半径相等的动圆分别与l相切于AB，点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．已知abR，，且i3,i2ba（i是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么ab，的值分别是（）Ａ．32ab，Ｂ．32ab，Ｃ．32ab，Ｄ．32ab，13．圆01222xyx关于直线032yx对称的圆的方程是（）Ａ．21)2()3(22yxＢ．21)2()3(22yxＣ．2)2()3(22yxＤ．2)2()3(22yx14．数列na中，22211100010012nnnannnn，≤≤，，≥，则数列na的极限值（）Ａ．等于0Ｂ．等于1Ｃ．等于0或1Ｄ．不存在15．设)(xf是定义在正整数集上的函数，且)(xf满足：“当2()fkk≥成立时，总可推出(1)fk≥2)1(k成立”．那么，下列命题总成立的是（）Ａ．若1)1(f成立，则100)10(f成立Ｂ．若4)2(f成立，则(1)1f≥成立Ｃ．若(3)9f≥成立，则当1k≥时，均有2()fkk≥成立Ｄ．若(4)25f≥成立，则当4k≥时，均有2()fkk≥成立三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．（本题满分12分）在正四棱锥ABCDP中，2PA，直线PA与平面ABCD所成的角为60，求正四棱锥ABCDP的体积V．17．（本题满分14分）在ABC△中，abc，，分别是三个内角ABC，，的对边．若4π,2Ca，5522cosB，求ABC△的面积S．PBCAD18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数0()(2xxaxxf，常数)aR．（1）当2a时，解不等式12)1()(xxfxf；（2）讨论函数)(xf的奇偶性，并说明理由．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列123maaaa，，，，（m为正整数）满足条件maa1，12maa，…，1aam，即1imiaa（12im，，，），我们称其为“对称数列”．例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”．（1）设nb是7项的“对称数列”，其中1234bbbb，，，是等差数列，且21b，114b．依次写出nb的每一项；（2）设nc是49项的“对称数列”，其中252649ccc，，，是首项为1，公比为2的等比数列，求nc各项的和S；（3）设nd是100项的“对称数列”，其中5152100ddd，，，是首项为2，公差为3的等差数列．求nd前n项的和nS(12100)n，，，．yO1A2B2A1B...M1F0F2Fx.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．我们把由半椭圆12222byax(0)x≥与半椭圆12222cxby(0)x≤合成的曲线称作“果圆”，其中222cba，0a，0cb．如图，设点0F，1F，2F是相应椭圆的焦点，1A，2A和1B，2B是“果圆”与x，y轴的交点，M是线段21AA的中点．（1）若012FFF△是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；（2）设P是“果圆”的半椭圆12222cxby(0)x≤上任意一点．求证：当PM取得最小值时，P在点12BB，或1A处；（3）若P是“果圆”上任意一点，求PM取得最小值时点P的横坐标．PBCADO2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)答案要点一、填空题（第1题至第11题）1．1x2．)0(11xx3．4arctanπ4．π5．xy1226．217．66arccos8．39．3.010．②④11．π022，二、选择题（第12题至第15题）题号12131415答案ACBD三、解答题（第16题至第21题）16．解：作PO平面ABCD，垂足为O．连接AO，O是正方形ABCD的中心，PAO是直线PA与平面ABCD所成的角．PAO＝60，2PA．3PO．1AO，2AB，112332333ABCDVPOS．17．解：由题意，得3cos5BB，为锐角，54sinB，10274π3sin)πsin(sinBCBA，由正弦定理得710c，111048sin222757SacB．18．解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为%36，%38，%40，%42．则2006年全球太阳电池的年生产量为8.249942.140.138.136.1670(兆瓦)．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x，则441420(1)95%2499.8(142%)x≥．解得0.615x≥．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61．19．解：（1）1212)1(222xxxxx，0122xx，0)1(xx．原不等式的解为10x．（2）当0a时，2)(xxf，对任意(0)(0)x，，，)()()(22xfxxxf，)(xf为偶函数．当0a时，2()(00)afxxaxx，，取1x，得(1)(1)20(1)(1)20ffffa，，(1)(1)(1)(1)ffff，，函数)(xf既不是奇函数，也不是偶函数．20．解：（1）设数列nb的公差为d，则1132314ddbb，解得3d，数列nb为25811852，，，，，，．（2）4921cccS25492625)(2cccc122212242321122262567108861．（3）51100223(501)149dd，．由题意得1250ddd，，，是首项为149，公差为3的等差数列．当50n≤时，nndddS21nnnnn230123)3(2)1(1492．当51100n≤≤时，nndddS21ndddS525150(50)(51)37752(50)32nnn75002299232nn．综上所述，22330115022329975005110022nnnnSnnn，≤≤，，≤≤．21．解：（1）2222012(0)00FcFbcFbc，，，，，，222220212121FFbccbFFbc，，于是22223744cabc，，所求“果圆”方程为2241(0)7xyx≥，2241(0)3yxx≤．（2）设()Pxy，，则2222||ycaxPM22222()1()04bacxacxbcxc，≤≤，0122cb，2||PM的最小值只能在0x或cx处取到．即当PM取得最小值时，P在点12BB，或1A处．（3）||||21MAMA，且1B和2B同时位于“果圆”的半椭圆22221(0)xyxab≥和半椭圆22221(0)yxxbc≤上，所以，由（2）知，只需研究P位于“果圆”的半椭圆22221(0)xyxab≥上的情形即可．2222||ycaxPM22222222224)(4)(2)(ccaacabccaaxac．当22()2aacxac≤，即2ac≤时，2||PM的最小值在222)(ccaax时取到，此时P的横坐标是222)(ccaa．当accaax222)(，即ca2时，由于2||PM在ax时是递减的，2||PM的最小值在ax时取到，此时P的横坐标是a．综上所述，若2ac≤，当||PM取得最小值时，点P的横坐标是222)(ccaa；若ca2，当||PM取得最小值时，点P的横坐标是a或c．