2007年天津卷理科数学含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．参考公式：·如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB24πSR·如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB··一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i是虚数单位，32i1i（）Ａ．1iＢ．1iＣ．1iＤ．1i2．设变量xy，满足约束条件1133xyxyxy，，．≥≥则目标函数4zxy的最大值为（）Ａ．4Ｂ．11Ｃ．12Ｄ．143．“2π3”是“πtan2cos2”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件4．设双曲线22221(00)xyabab，的离心率为3，且它的一条准线与抛物线24yx的准线重合，则此双曲线的方程为（）Ａ．2211224xyＢ．2214896xyＣ．222133xyＤ．22136xy5．函数2log(42)(0)yxx的反函数是（）Ａ．142(2)xxyxＢ．142(1)xxyxＣ．242(2)xxyxＤ．242(1)xxyx6．设ab，为两条直线，，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）Ａ．若ab，与所成的角相等，则ab∥Ｂ．若ab，∥∥，∥，则ab∥Ｃ．若abab，，∥，则∥Ｄ．若ab，，，则ab7．在R上定义的函数()fx是偶函数，且()(2)fxfx，若()fx在区间[12]，上是减函数，则()fx（）Ａ．在区间[21]，上是增函数，在区间[34]，上是增函数Ｂ．在区间[21]，上是增函数，在区间[34]，上是减函数Ｃ．在区间[21]，上是减函数，在区间[34]，上是增函数Ｄ．在区间[21]，上是减函数，在区间[34]，上是减函数8．设等差数列na的公差d不为0，19ad．若ka是1a与2ka的等比中项，则k（）Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．89．设abc，，均为正数，且122logaa，121log2bb，21log2cc．则（）Ａ．abcＢ．cbaＣ．cabＤ．bac10．设两个向量22(2cos)，a和sin2mm，b，其中m，，为实数．若2ab，中央电视台m的取值范围是（）Ａ．[-6，1]Ｂ．[48]，Ｃ．（-6，1]Ｄ．[-1，6]2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答案前将密封线内的项目填写清楚．2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．11．若621xax的二项展开式中2x的系数为52，则a（用数字作答）．12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．13．设等差数列na的公差d是2，前n项的和为nS，则22limnnnanS．14．已知两圆2210xy和22(1)(3)20xy相交于AB，两点，则直线AB的方程是．15．如图，在ABC△中，12021BACABAC，，°，D是边BC上一点，2DCBD，则ADBC·．16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数()2cos(sincos)1fxxxxxR，．（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期；（Ⅱ）求函数()fx在区间π3π84，上的最小值和最大值．ABDC18．（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，60ABADACCDABC，，°，PAABBC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明CDAE；（Ⅱ）证明PD平面ABE；（Ⅲ）求二面角APDC的大小．ABCDPE20．（本小题满分12分）已知函数2221()()1axafxxxR，其中aR．（Ⅰ）当1a时，求曲线()yfx在点(2(2))f，处的切线方程；（Ⅱ）当0a时，求函数()fx的单调区间与极值．21．（本小题满分14分）在数列na中，1112(2)2()nnnnaaanN，，其中0．（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）求数列na的前n项和nS；（Ⅲ）证明存在kN，使得11nknkaaaa≤对任意nN均成立．22．（本小题满分14分）设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12FFA，，是椭圆上的一点，212AFFF，原点O到直线1AF的距离为113OF．（Ⅰ）证明2ab；（Ⅱ）设12QQ，为椭圆上的两个动点，12OQOQ，过原点O作直线12QQ的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．Ｃ2．Ｂ3．Ａ4．Ｄ5．Ｃ6．Ｄ7．Ｂ8．Ｂ9．Ａ10．Ａ二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．11．212．14π13．314．30xy15．8316．390三、解答题17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()yAx的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：π()2cos(sincos)1sin2cos22sin24fxxxxxxx．因此，函数()fx的最小正周期为π．（Ⅱ）解法一：因为π()2sin24fxx在区间π3π88，上为增函数，在区间3π3π84，上为减函数，又π08f，3π28f，3π3πππ2sin2cos14244f，故函数()fx在区间π3π84，上的最大值为2，最小值为1．解法二：作函数π()2sin24fxx在长度为一个周期的区间π9π84，上的图象如下：间π3π84，由图象得函数()fx在区上的最大值为2，最小值为3π14f．18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B．由于事件AB，相互独立，且23241()2CPAC，24262()5CPBC．故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255PABPAPB··．（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．由于事件CD，互斥，yxO22且21132422464()15CCCPCCC··，123422461()5CCPDCC·．故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515PCDPCPD．（Ⅲ）解：可能的取值为0123，，，．由（Ⅰ），（Ⅱ）得1(0)5P，7(1)15P，13224611(3)30CPCC·．从而3(2)1(0)(1)(3)10PPPP．的分布列为0123P15715310130的数学期望17317012351510306E．19．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明：在四棱锥PABCD中，因PA底面ABCD，CD平面ABCD，故PACD．ACCDPAACA，∵，CD∴平面PAC．而AE平面PAC，CDAE∴．（Ⅱ）证明：由PAABBC，60ABC°，可得ACPA．E∵是PC的中点，AEPC∴．由（Ⅰ）知，AECD，且PCCDC，所以AE平面PCD．而PD平面PCD，AEPD∴．PA∵底面ABCDPD，在底面ABCD内的射影是AD，ABAD，ABPD∴．又ABAEA∵，综上得PD平面ABE．（Ⅲ）解法一：过点A作AMPD，垂足为M，连结EM．则（Ⅱ）知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EMPD．因此AME是二面角APDC的平面角．由已知，得30CAD°．设ACa，可得23212332PAaADaPDaAEa，，，．在ADPRt△中，AMPD∵，AMPDPAAD∴··，则232737213aaPAADAMaPDa··．ABCDPEM在AEMRt△中，14sin4AEAMEAM．所以二面角APDC的大小是14arcsin4．解法二：由题设PA底面ABCD，PA平面PAD，则平面PAD平面ACD，交线为AD．过点C作CFAD，垂足为F，故CF平面PAD．过点F作FMPD，垂足为M，连结CM，故CMPD．因此CMP是二面角APDC的平面角．由已知，可得30CAD°，设ACa，可得2321133326PAaADaPDaCFaFDa，，，，．FMDPAD∵△∽△，FMFDPAPD∴．于是，37614213aaFDPAFMaPDa··．在CMFRt△中，12tan7714aCFCMFFMa．所以二面角APDC的大小是arctan7．20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．（Ⅰ）解：当1a时，22()1xfxx，4(2)5f，又2222222(1)2222()(1)(1)xxxxfxxx·，6(2)25f．所以，曲线()yfx在点(2(2))f，处的切线方程为46(2)525yx，即62320xy．（Ⅱ）解：2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)axxaxaxaaxfxxx．由于0a，以下分两种情况讨论．（1）当0a时，令()0fx，得到11xa，2xa．当x变化时，()()fxfx，的变ABCDPEFM化情况如下表：x1a，∞1a1aa，a()a，∞()fx00(