2008年高考试题——数学理（海南卷）

2008年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）理科数学数学（理）试题头说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22－24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上．在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的标准参锥体体积公式s=222121()()()nxxxxxxn…V=31Sh其中x为样本平均数其中S为底面面积，h为高柱体体积公式球的表面积、体积公式V=Sh24SR，343VR其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数2sin()(0)yx)在区间02，的图像如下：那么＝（）A．1B．2C．21D．312．已知复数1zi，则122zzz=（）A．2iB．2iC．2D．23．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）yx2π11OA．185B．43C．23D．874．设等比数列na的公比q=2，前n项和为Sn，则24aS=（）A．2B．4C．215D．2175．右面的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A．cxB．xcC．cbD．bc6．已知a1＞a2＞a3＞0，则使得2(1)1(123)iaxi，，都成立的x取值范围是（）A．110a，B．120a，C．310a，D．320a，7．23sin702cos10（）A．12B．22C．2D．328．平面向量a，b共线的充要条件是（）A．a，b方向相同B．a，b两向量中至少有一个为零向量C．R∃，baD．存在不全为零的实数1，2，120ab9．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（）A．20种B．30种C．40种D．60种10．由直线12x，x=2，曲线1yx及x轴所围图形的面积为（）A．154B．174C．1ln22D．2ln211．已知点P在抛物线24yx上，那么点P到点(21)Q，的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）开始输入abc，，xabxxbxc输出x结束是是否否A．114，B．114，C．(12)，D．(12)，12．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（）A．22B．23C．4D．25第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量(011)，，a，(410)，，b，29ab且0，则．14．设双曲线221916xy的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为．15．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为．16．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：甲品种：271273280285285287292294295301303303307308310314319323325325328331334337352乙品种：284292295304306307312313315315316318318320322322324327329331333336337343356由以上数据设计了如下茎叶图根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：①；②．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知na是一个等差数列，且21a，55a．31277550284542292587331304679403123556888553320224797413313673432356甲乙（Ⅰ）求na的通项na；（Ⅱ）求na前n项和Sn的最大值．18．（本小题满分12分）如图，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，60PDA．（Ⅰ）求DP与CC所成角的大小；（Ⅱ）求DP与平面AADD所成角的大小．19．（本小题满分12分）AB，两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2．根据市场分析，X1和X2的分布列分别为X15％10％P0.80.2（Ⅰ）在AB，两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1，DY2；（Ⅱ）将(0100)xx≤≤万元投资A项目，100x万元投资B项目，()fx表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求()fx的最小值，并指出x为何值时，()fx取到最小值．（注：2()DaXbaDX）20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，椭圆C1：2222byax=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2：24yx的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且｜MF2｜=35．（Ⅰ）求C1的方程；X22％8％12％P0.20.50.3ABCDPABCD（Ⅱ）平面上的点N满足21MFMFMN，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若0OAOB，求直线l的方程．21．（本小题满分12分）设函数1()()fxaxabxbZ，，曲线()yfx在点(2(2))f，处的切线方程为y=3．（Ⅰ）求()fx的解析式：（Ⅱ）证明：函数()yfx的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（Ⅲ）证明：曲线()yfx上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P．（Ⅰ）证明：2OMOPOA；（Ⅱ）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K．证明：90OKM∠．23．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程已知曲线C1：cossinxy，（为参数），曲线C2：22222xty，（t为参数）．（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线12CC，．写出12CC，的参数方程．1C与2C公共点的个数和C21C与公共点的个数是否相同？说明你的理由．OMAPNBK24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()84fxxx．（Ⅰ）作出函数()yfx的图像；（Ⅱ）解不等式842xx．答案11OxyBBDCABCDADAC（13）3（14）1532（15）34（16）.1.乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）。2．甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）.3．甲品种棉花的纤维长度的中位效为307mm，乙品种棉花的纤谁长度的中位数为318mm4．乙品种棉花的纤堆长度基本上是对称的．而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外．也大致对称．其分布较均匀．三、解答题（17）解：（1）设na的公差为d，由已知条件，11145adad，解出13,2ad，所以1125naandn。（2）22114422nnnSnadnnn所以2n时，nS取到最大值4。（18）解：如图，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz。则1,0,0,0,0,1DACC.连结,BDBD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设,,10DHMMM,由已知,60DHDA,由cos,DADHDADHDHDA可得2221mm。解得22m，所以22,,122DH（Ⅰ）因为220011222cos212DHCC，，ABCDPABCDxyzH所以45DHCC，．即DP与CC所成的角为45．（Ⅱ）平面AADD的一个法向量是(010)DC，，．因为220110122cos212DHDC，，所以60DHDC，．可得DP与平面AADD所成的角为30．19．解：（Ⅰ）由题设可知1Y和2Y的分布列分别为Y1510P0.80.2150.8100.26EY，221(56)0.8(106)0.24DY，220.280.5120.38EY，2222(28)0.2(88)0.5(128)0.312DY．（Ⅱ）12100()100100xxfxDYDY2212100100100xxDYDY22243(100)100xx2224(46003100)100xx，当6007524x时，()3fx为最小值．20．解：（Ⅰ）由2C：24yx知2(10)F，．Y22812P0.20.50.3设11()Mxy，，M在2C上，因为253MF，所以1513x，得123x，1263y．M在1C上，且椭圆1C的半焦距1c，于是2222481931.abba，消去2b并整理得4293740aa，解得2a（13a不合题意，舍去）．故椭圆1C的方程为22143xy．（Ⅱ）由12MFMFMN知四边形12MFNF是平行四边形，其中心为坐标原点O，因为lMN∥，所以l与OM的斜率相同，故l的斜率263623k．设l的方程为6()yxm．由2234126()xyyxm，，消去y并化简得22916840xmxm．设11()Axy，，22()Bxy，，12169mxx，212849mxx．因为OAOB，所以12120xxyy．121212126()()xxyyxxxmxm2121276()6xxmxxm22841676699mmmm21(1428)09m．所以2m．此时22(16)49(84)0mm，故所求直线l的方程为623yx，或623yx．2