2008年高考试题——数学理（全国卷1）（有答案解析）

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅰ卷参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB24πSR如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么34π3VRn次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)(01,2)kknknnPkCPPkn，，，一、选择题1．函数(1)yxxx的定义域为（）A．|0xx≥B．|1xx≥C．|10xx≥D．|01xx≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（）3．在ABC△中，ABc，ACb．若点D满足2BDDC，则AD（）A．2133bcB．5233cbC．2133bcD．1233bc4．设aR，且2()aii为正实数，则a（）A．2B．1C．0D．15．已知等差数列na满足244aa，3510aa，则它的前10项的和10S（）A．138B．135C．95D．236．若函数(1)yfx的图像与函数ln1yx的图像关于直线yx对称，则()fxstOA．stOstOstOB．C．D．年级：班别：姓名：考场；考号；（）A．21xeB．2xeC．21xeD．22xe7．设曲线11xyx在点(32)，处的切线与直线10axy垂直，则a（）A．2B．12C．12D．28．为得到函数πcos23yx的图像，只需将函数sin2yx的图像（）A．向左平移5π12个长度单位B．向右平移5π12个长度单位C．向左平移5π6个长度单位D．向右平移5π6个长度单位9．设奇函数()fx在(0)，上为增函数，且(1)0f，则不等式()()0fxfxx的解集为（）A．(10)(1)，，B．(1)(01)，，C．(1)(1)，，D．(10)(01)，，10．若直线1xyab通过点(cossin)M，，则（）A．221ab≤B．221ab≥C．22111ab≤D．22111ab≥11．已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC内的射影为ABC△的中心，则1AB与底面ABC所成角的正弦值等于（）A．13B．23C．33D．2312．如图，一环形花坛分成ABCD，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96B．84C．60D．48第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．13．若xy，满足约束条件03003xyxyx，，，≥≥≤≤则2zxy的最大值为．DBCA14．已知抛物线21yax的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．15．在ABC△中，ABBC，7cos18B．若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e．16．等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为33，MN，分别是ACBC，的中点，则EMAN，所成角的余弦值等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）设ABC△的内角ABC，，所对的边长分别为abc，，，且3coscos5aBbAc．（Ⅰ）求tancotAB的值；（Ⅱ）求tan()AB的最大值．18．（本小题满分12分）四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，2BC，2CD，ABAC．（Ⅰ）证明：ADCE；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角CADE的大小．19．（本小题满分12分）已知函数32()1fxxaxx，aR．（Ⅰ）讨论函数()fx的单调区间；（Ⅱ）设函数()fx在区间2133，内是减函数，求a的取值范围．20．（本小题满分12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3CDEAB只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．21．（本小题满分12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为12ll，，经过右焦点F垂直于1l的直线分别交12ll，于AB，两点．已知OAABOB、、成等差数列，且BF与FA同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．22．（本小题满分12分）设函数()lnfxxxx．数列na满足101a，1()nnafa．（Ⅰ）证明：函数()fx在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：11nnaa；（Ⅲ）设1(1)ba，，整数11lnabkab≥．证明：1kab．2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）答案与解析：1.C.由(1)xxx≥≥0,0得0xx≥1,或；2.A.根据汽车加速行驶212sat，匀速行驶svt，减速行驶212sat结合函数图象可知.3.A.2(),322ADABACADADABACc+b,1233ADc+b4.D222()(21)2(1)0,1aiiaaiiaaia5.C．243511014,104,3,10454013595aaaaadSad由得6.B.2(1)2(1)2ln1,(1),()yxxyxxefxefxe7.D.3212211,,11(1)2xxyyyxxx,2,2aa8.A．π55cos2sin(2)sin2()3612yxxx，只需将函数sin2yx的图像向左平移5π12个单位得到函数πcos23yx的图像.9.D．由奇函数()fx可知()()2()0fxfxfxxx，而(1)0f，则(1)(1)0ff，当0x时，()0(1)fxf；当0x时，()0(1)fxf，又()fx在(0)，上为增函数，则奇函数()fx在(,0)上为增函数，01,10xx或.10.D．由题意知直线1xyab与圆221xy有交点，则2222111111abab≤1,≥.另解：设向量11(cos,sin),(,)abm=n=，由题意知cossin1ab由≤mnmn可得22cossin11abab≤111.C．由题意知三棱锥1AABC为正四面体，设棱长为a，则13ABa，棱柱的高22221236()323AOaAOaaa（即点1B到底面ABC的距离），故1AB与底面ABC所成角的正弦值为1123AOAB.另解：设1,,ABACAA为空间向量的一组基底，1,,ABACAA的两两间的夹角为060长度均为a，平面ABC的法向量为111133OAAAABAC,11ABABAA2111126,,333OAABaOAAB则1AB与底面ABC所成角的正弦值为111123OAABAOAB.12.B.分三类：种两种花有24A种种法；种三种花有342A种种法；种四种花有44A种种法.共有234444284AAA.另解：按ABCD顺序种花，可分AC、同色与不同色有43(1322)8413.答案：9．如图，作出可行域，作出直线0:20lxy，将0l平移至过点A处(3,3)A20xy0xy30xyO3xyx13题图时，函数2zxy有最大值9.14.答案：2.由抛物线21yax的焦点坐标为1(0,1)4a为坐标原点得，14a，则2114yx与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)，则以这三点围成的三角形的面积为1412215.答案：38.设1ABBC，7cos18B则222252cos9ACABBCABBCB53AC，582321,21,3328cacea.16.答案：16.设2AB，作COABDE面，OHAB，则CHAB，CHO为二面角CABD的平面角3,cos1CHOHCHCHO，结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则3ANEMCH11(),22ANACABEMACAE,11()()22ANEMABACACAE12故EMAN，所成角的余弦值16ANEMANEM另解：以O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(0,0,2)ABEC,112112(,,),(,,)222222MN,则3121321(,,),(,,),,32222222ANEMANEMANEM,故EMAN，所成角的余弦值16ANEMANEM.17.解析：（Ⅰ）在ABC△中，由正弦定理及3coscos5aBbAc可得3333sincossincossinsin()sincoscossin5555ABBACABABAB即sincos4cossinABAB，则tancot4AB；（Ⅱ）由tancot4AB得tan4tan0ABzyHoMBDECNAx16题图（2）HoMBDECNA16题图（1）2tantan3tan3tan()1tantan14tancot4tanABBABABBBB≤34当且仅当14tancot,tan,tan22BBBA时，等号成立，故当1tan2,tan2AB时，tan()AB的最大值为34.18．解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，ABAC，AFBC，又面ABC面BCDE，AF面BCDE，AFCE．2tantan2CEDFDC，90OEDODE，90DOE，即CEDF，CE面ADF，CEAD．（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G．CGAD，CEAD，AD面CEG，EGAD，则CGE即为所求二面角的平面角．233ACCDCGAD，63DG，22303EGDEDG，6CE，则22210cos210CGGECECGECGGE，10πarccos10CGE，即二面角CADE的大小10πarccos10．19.解：（1）32()1fxxaxx求导：2()321fxxax当23a≤时，0≤，()0fx≥，()fx在R上递增当23a，()0fx求得两根为233aax即()fx在233aa，递增，223333aaaa，递减，233aa，递增FOGACDEB18题图（2）2232333133aaaa≤≥，且23a解得：74a≥20．解：（Ⅰ）对于甲：次数12345概率0.20.20.20.20.2对于乙：次数234概率0.40.40.20.20.40.20.80.210.210.64．（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，的期望为20.