2008年高考试题——数学理（全国卷2）

绝密★启用前【考试时间：6月7日15:00—17:00】2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ（选择题）卷和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码的准考证号码、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。2．每小题选出答案后，用2B铅笔吧答题卡上对应题目的答案涂黑。如需改动用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试卷上的答案无效。参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CknPk(1－P)n－k本卷12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一．选择题（1）设集合}23{mZmM,}31{nZnN,则NMA．}1,0{B.}1,0,1{C.}2,1,0{D}2,1,0,1{(2)设a，b∈R且b≠0，若复数3bi)(a是实数，则A．223abB.223baC.229abD.229ba球的表面积公式S=42R其中R表示球的半径，球的体积公式V=334R，其中R表示球的半径(3)函数xxxf1)(的图像关于A．y轴对称B.直线y=-xC.坐标原点对称D.直线y=x(4)若)1,(1ex，xlna,xln2b,x3lnc,则A．cbaB.bacC.cabD.acb（5）设变量x,y满足约束条件：2,22,xyxxy则yxz3的最小值为：A．-2B.-4C.-6D.-8（6）从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为A．299B.2910C.2919D.2920（7）4611xx的展开式中x的系数是A．-4B.-3C.3D.4（8）若动直线ax与函数xxfsin)(和xxgcos)(的图像分别交于M、N两点，则MN的最大值为A．1B.2C.3D.2（9）设1a，则双曲线22221(1)xyaa的离心率e的取值范围是A．)2,2(B.)5,2(C.)5,2(D.)5,2(（10）已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为A．31B.32C.33D.32（11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为02yx和047yx，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为A．3B.2C.31D.21（12）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于A．1B.2C.3D.2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。）把答案填在答题卡上。（13）设向量a=（1，2），b=（2，3）.若向量λa+b与向量c=（4，-7）共线，则λ=.(14)设曲线axey在点（0，1）处的切线与直线012yx垂直，则a=.(15)已知F为抛物线C：xy42的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点.设FBFA.则FA与FB的比值等于.(16)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①;充要条件②.(写出你认为正确的两个充要条件)三．解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(17)（本小题满分10分）在△ABC中，135cosB，54cosC.(Ⅰ)求Asin的值；(Ⅱ)求△ABC的面积233ABCS,求BC的长.（18）（本大题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为410999.01.(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率p；(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）.(19)(本大题满分12分)如图，正四棱柱1111DCBA-ABCD中，421ABAA,点E在上且ECEC31.(Ⅰ)证明：CA1平面BED;(Ⅱ)求二面角B-DE-A1的大小.(20)（本大题满分12分）设数列}{na的前n项和为nS.已知aa1，nnnSa31，*Nn.(Ⅰ)设nnnSb3，求数列}{nb的通项公式；(Ⅱ)若nnaa1，*Nn，求a的取值范围.(21)（本大题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点，直线)0(kkxy与AB相交于点D，与椭圆相较于E、F两点.(Ⅰ)若DFED6,求k的值；求四边形AEBF面积的最大值.(22)（本大题满分12分）设函数xxxfcos2sin)(.(Ⅰ)求)(xf的单调期间；(Ⅱ)如果对任何0x，都有axxf)(，求a的取值范围.2008年高考试题答案（理）一、选择题123456789101112BACCDDBBBCAC提示：1、}1,0,1{},21|{ZxxxNM2、22323223330,03,)3(3)(abbbbaibbaababia3、)(xf为奇函数4、cabxxe0ln1115、当22yx时，83minyxZ6、29201330310330320CCCCP7、xxxxx2446)1()1()1()1(的系数为32214CC8、2|)4sin(|2|cossin|||aaaMN9、22)1()1(222aaaaae=1)1(2a110a1)1(2tu在)1,0(为单增函数，52u52e10、连结AC、BD相交于O点，连结OE，则OE//SO，所以AEO为所求角，设AB=2，则OE=1，AE=3，AO=2，33cosAEOEAEO11、设底边斜率为Ｋ，直线02yx与047yx的斜率分别为71,131,3,717111kkkkk，又原点在底边上，所以Ｋ＝３12、1O与2O的公共弦为AB，球心为Ｏ，AB中点为C，则四边形COOO21为矩形，所以3||||||,1||,2|||,|||2221ACOAOCOCACACOAOCOO二、填空题13、20)2(7)32(4)32,2(ba；14、axaey'，当0x时2'aay；15、设AB所在直线方程为1xy，0444122yyxyxy222y223222222||||FBFA；16.两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形。注：上面给出了四个充要条件。如果考生写出其他正确答案，同样给分。三、解答题17．解：（Ⅰ）由5cos13B，得12sin13B，ＯＯ２ＣＯ１由4cos5C，得3sin5C．所以33sinsin()sincoscossin65ABCBCBC．·················································5分（Ⅱ）由332ABCS△得133sin22ABACA，由（Ⅰ）知33sin65A，故65ABAC，·····················································································································8分又sin20sin13ABBACABC，故2206513AB，132AB．所以sin11sin2ABABCC．·································································································10分18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10000人中出险的人数为，则4~(10)Bp，．（Ⅰ）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则A发生当且仅当0，·········································································································································2分()1()PAPA1(0)P4101(1)p，又410()10.999PA，故0.001p．·····························································································································5分（Ⅱ）该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出1000050000，盈利10000(1000050000)a，盈利的期望为100001000050000EaE，························································9分由43~(1010)B，知，31000010E，4441010510EaE4443410101010510a．0E≥4441010105100a≥1050a≥15a≥（元）．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．············································································12分19．解法一：依题设知2AB，1CE．（Ⅰ）连结AC交BD于点F，则BDAC．由三垂线定理知，1BDAC．································································································3分在平面1ACA内，连结EF交1AC于点G，由于122AAACFCCE，故1RtRtAACFCE△∽△，1AACCFE，CFE与1FCA互余．于是1ACEF．1AC与平面BED内两条相交直线BDEF，都垂直，所以1AC平面BED．············································································································6分（Ⅱ）作GHDE，垂足为H，连结1AH．由三垂线定理知1AHDE，故1AHG是二面角1ADEB的平面角．·········································································8分223EFCFCE，23CECFCGEF，2233EGCECG