2008年高考试题——数学理（上海卷）

2008年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.不等式11x＜的解集是.2.若集合A={x｜x≤2}、B={x｜x≥a}满足{2}AB，则实数a=.3.若复数z满足(2)ziz(i是虚数单位)，则z=.4.若函数fx的反函数为120fxxx,则4f=.5.若向量ab、满足1,2,ab且a与b的夹角为3，则ab＝.6.函数f(x)=3sinsin2xx的最大值是.7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0，0)、B（2,0）、C（1,1）、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）.8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数.若当(0,)x时，lgfxx，则满足f(x)＞0的x的取值范围是.9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a,b,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是.10.某海域内有一孤岛.岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a、短轴长为2Br椭圆.已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投岸恰好落在椭圆的两个焦点上.现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是.11.方程x2+2x-1＝0的解可视为函数y-x+2的图像与函数y＝x1的图像交点的横坐标.若方程x4+ax-4=0的各个实根x1,x2,…，xk（k≤4）所对应的点14,xxi（I=1,2,…，k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是.得分评卷人二、选择（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.12.组合数Crnrnrn、,1(∈Z）恒等于[答]（）（A）.1111rnCnr(B)(n+1)(r+1)C11rn(C)nrC11rn(D)Crn11rn.13.给定空间中的直线l及平面α.条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的[答]（）（A）充要条件.（B）充分大必要条件.（C）必要非充分条件.（D）既非充分又非必要条件.14.若数列｛an｝是首项为l，公比为a23的无穷等比数列，且｛an｝各项的和为a，则Ar值是[答]（）（A）1.(B)2.(C).21(D).4515.如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是被圆的四等分点.若点P（x，y）、点P′(x′，y′)满足xx′且yy′，则称P优于P′.如果Ω中的点O满足，不存在Ω中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧[答]（）（A）AB（B）BC（C）CD（D）DA三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.16.(本题满分12分)如图，在棱长为2的正方体ABC-A1B1C1D1中，E是BC1的中点.求直线DE平平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.［解］17.（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB.小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平等于BO的小路CD.已知某人从C沿CD走到D用B10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）［解］18.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分.已知函数sin2fxx,()cos26gxx,直线x=t(t∈R)与函数f(x)、g(x)的图像分别交于M、N两点.(1)当4t时，求｜MN｜的值；(2)求｜MN｜在t∈2,0时的最大值.［解］（1）19.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分.已知函数f(x)=pqx212.(1)若f(x)＝2，求x的值；(2)若220tftmft对于t∈［1，2］恒成立，求实数m的取值范围.［解］（1）得分评卷人20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。设,Pab（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点（1，b）的直线，记Q是直线l与抛物线220xpyp的异于原点的交点.（1）已知a=1,b=2,p=2.求点Q的坐标；（2）已知点,Pab（ab≠0）在椭圆2211,.42xypab上求证：点Q落在双曲线2244xy=1上；（3）已知动点P（a,b）满足ab≠0，p=12ab，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪条双曲线上，并说明理由.得分评卷人21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分。已知以a1-1，c=1,d=3时，求数列{an}满足:1,3,,3,nnnnnacaaaad.(1)当11,1,3,acd时求数列na的通项公式；（2）当0＜a1＜1，a=1,d=3时，试用a1表示数列na前0项的和S；（3）当0＜a2＜1m（m是正整数），c=1m，正整数d3m时，求证：数列21am，321mam,621mam,921mam成等比数列当且仅当3dm。F2008年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷参考答案（理工农医类）一、（第1题至第11题）1.(0,2)2.2.3.1i.4.2.5.7.6.2.7.34.8.(1,0)(1,).9.10.5,10.5ab.10.1122cotcot2hha11.(,6)(6,).二、（第12题至第15题）12.D13.C14.B15.D三、（第16题到第21题）16.解：过E作EFBC，交BC于F，连接DF.EF平面ABCD，EDF是直线DE与平面ABCD所成的角.……4分由题意，得1112EFCC.112CFCB5DF.……8分EFDF，5tan5EFEDFDF.……10分故直线DE与平面ABCD所成角的大小是5arctan5.……12分17解法一：设该扇形的半径为r米，连接CD.……2分由题意，得500CD(米)，300DA（米），60CDO……4分在△CDO中，2222cos60CDODCDODOC……6分即，2221500(300)2500(300)2rrr……9分解得490044511r（米）答：该扇形的半径OA的长约为445米.……13分解法二：连接AC，作OHAC，交AC于H，……2分由题意，得500CD（米），300AD（米），120CDA……4分在△CDO中，2222cos120ACCDADCDADAODBCAODBCHAEB1D1DC1A1BC222150030025003007002.700AC（米）.……6分22211cos214ACADCDCADACAD.在直角△HAO中，350AH（米），11cos14HAO，……9分4900445cos11AHOAHAO（米）.答：该扇形的半径OA的长约为445米.……13分18.[解]（1）设11(,)Pxy是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是20xy和20xy.……2分点11(,)Pxy到两条渐近线的距离分别是11|2|5xy和11|2|5xy，……4分它们的乘积是11|2|5xy221111|2||4|4555xyxy.点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数.……6分（2）设的坐标为(,)xy，则222||(3)PAxy……8分22(3)14xx25124()455x……11分||2x，……13分当125x时，2||PA的最小值为45，即||PA的最小值为255.……15分19．解（1）当0x时，()0fx；当0x时，1()22xxfx由条件可知1222xx，即222210xx解得212x20log(12)xx∵∴（2）当[1,2]t时，22112(2)(2)022tttttm即24(21)(21)ttm，2210t∵，2(21)tm∴[1,2]t∵，2(21)[17,5]t∴故m的取值范围是[5,)20．解（1）当1,2,2abp时，解方程组242xyyx得816xy即点Q的坐标为(8,16)（2）【证明】由方程组21xyabybx得1xabya即点Q的坐标为1(,)baaP∵时椭圆上的点，即2214ab2222144()4()(1)1bbaaa∴，因此点Q落在双曲线22441xy上（3）设Q所在的抛物线方程为22(),0yqxcq将1(,)bQaa代入方程，得2212()bqcaa，即2222bqaqca当0qc时，22bqa，此时点P的轨迹落在抛物线上；当12qc时，22211()24abcc，此时点P的轨迹落在圆上；当102qcqc且时，2221()21142abcqcc，此时点P的轨迹落在椭圆上；当0qc时2221()211()42abcqcc，此时点P的轨迹落在双曲线上；21．解（1）由题意得1,322,31,()3,3nnkankkZnk(2)当101a时，211aa，312aa，413aa，1513aa，1623aa，1733aa，,1313113kkaa，133123kkaa，1313133kkaa10012345669899100()()()Saaaaaaaaaa∴1111131(36)(6)(6)(6)33aaaaa113111(31)63333aa13111(11)19823a（3）当3dm时，211aam311131311333mmmaaaaamm∵，13213maamm∴；11661133333mmaaaammm∵，162219maamm∴；1199122133399mmaaaammm∵，1923127maamm∴211aam∴，13213maamm，162219maamm，1923127maamm∴综上所述，当3dm时，数列21am，321mam，621mam，921mam是公比为13m的等比数列当31dm时，132310,maadm，1623133,3,maadm1633310,,madadm192333113,3,mamdadmm……15分由于3210mam，6210mam，9210mam故数列23262921111,,,,mmmaaaammmm不是等比数列所以，数列23262921111,,,,mmmaaaammmm成等比数列当且仅当3dm……18分