2008年高考试题——数学理（天津卷）

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。3.本卷共10小题，每小题5分，共50分。参考公式：·如果时间A，B互斥，那么·球的表面积公式P（A+B）=P（A）+P（B）24SR.·如果事件A，B相互独立，那么其中R表示球的半径.P（A·B）=P（A）·P（B）一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i是虚数单位，113iii(A)1(B)1(C)i(D)i（2）设变量yx,满足约束条件1210yxyxyx，则目标函数yxz5的最大值为(A)2(B)3(C)4(D)5（3）设函数Rxxxf,22sin，则xf是(A)最小正周期为的奇函数(B)最小正周期为的偶函数(C)最小正周期为2的奇函数(D)最小正周期为2的偶函数（4）设ba,是两条直线，,是两个平面，则ba的一个充分条件是(A),//,ba(B)//,,ba(C)//,,ba(D),//,ba（5）设椭圆1112222mmymx上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为(A)6(B)2(C)21(D)772（6）设集合RTSaxaxTxxS,8|,32|，则a的取值范围是(A)13a(B)13a(C)3a或1a(D)3a或1a（7）设函数1011xxxf的反函数为xf1，则(A)xf1在其定义域上是增函数且最大值为1(B)xf1在其定义域上是减函数且最小值为0(C)xf1在其定义域上是减函数且最大值为1(D)xf1在其定义域上是增函数且最小值为0（8）已知函数0101xxxxxf，则不等式111xfxx的解集是(A)121|xx(B)1|xx(C)12|xx(D)1212|xx（9）已知函数xf是R上的偶函数，且在区间,0上是增函数.令75tan,75cos,72sinfcfbfa，则(A)cab(B)abc(C)acb(D)cba（10）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有(A)1344种(B)1248种(C)1056种(D)960种第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上3．本卷共12小题，共100分。二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）（11）52xx的二项展开式中，2x的系数是（用数字作答）.（12）一个正方体的各定点均在同一球的球面上，若该球的体积为34，则该正方体的表面积为.（13）已知圆C的圆心与抛物线xy42的焦点关于直线xy对称.直线0234yx与圆C相交于BA,两点，且6AB,则圆C的方程为.（14）如图，在平行四边形ABCD中，2,3,2,1BDAC，则ACAD.（15）已知数列na中，*31,1111Nnaaannn，则nnalim.（16）设1a，若仅有一个常数c使得对于任意的aax2,，都有2,aay满足方程cyxaaloglog，这时，a的取值的集合为.三、解答题（本题共6道大题，满分76分）（17）（本小题满分12分）已知4,2,1024cosxx.（Ⅰ）求xsin的值；（Ⅱ）求32sinx的值.（18）（本小题满分12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p，且乙投球2次均未命中的概率为161.（Ⅰ）求乙投球的命中率p；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是矩形.已知60,22,2,2,3PABPDPAADAB.（Ⅰ）证明AD平面PAB；（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角ABDP的大小.（20）（本小题满分12分）已知函数0xbxaxxf，其中Rba,.（Ⅰ）若曲线xfy在点2,2fP处的切线方程为13xy，求函数xf的解析式；（Ⅱ）讨论函数xf的单调性；（Ⅲ）若对于任意的2,21a，不等式10xf在1,41上恒成立，求b的取值范围.（21）（本小题满分14分）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是0,31F，一条渐近线的方程是025yx.（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若以0kk为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281，求k的取值范围.（22）（本小题满分14分）在数列na与nb中，4,111ba，数列na的前n项和nS满足031nnSnnS,12na为nb与1nb的等比中项，*Nn.（Ⅰ）求22,ba的值；（Ⅱ）求数列na与nb的通项公式；（Ⅲ）设*,1112121NnbbbTnaaann.证明3,22nnTn.参考答案一.选择题：（1）A（2）D（3）B（4）C（5）B（6）A（7）D（8）C（9）A（10）B二.填空题：（11）40（12）24（13）10122yx（14）3（15）67（16）2三.解答题：（17）解：（Ⅰ）因为43,2x，所以2,44x，于是10274cos14sin2xx54221022210274sin4cos4cos4sin44sinsinxxxx（Ⅱ）因为43,2x，故53541sin1cos22xx2571cos22cos,2524cossin22sin2xxxxx所以5037243sin2cos3cos2sin32sinxxx（18）解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B由题意得1611122pBP解得43p或45（舍去），所以乙投球的命中率为43（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知41,43,21,21BPBPAPAP可能的取值为0，1，2，3，故321412102BBPAPP32721414324121321412112212APBPBPCBBPAPP329432132BBPAPP321531012PPPP的分布列为0123P3213273215329的数学期望232933215232713210E（19）解：（Ⅰ）证明：在PAD中，由题设22,2PDPA可得222PDADPA于是PAAD.在矩形ABCD中，ABAD.又AABPA，所以AD平面PAB.（Ⅱ）证明：由题设，ADBC//，所以PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角.在PAB中，由余弦定理得由（Ⅰ）知AD平面PAB，PB平面PAB，所以PBAD，因而PBBC，于是PBC是直角三角形，故27tanBCPBPCB所以异面直线PC与AD所成的角的大小为27arctan.（Ⅲ）解：过点P做ABPH于H，过点H做BDHE于E，连结PE因为AD平面PAB，PH平面PAB，所以PHAD.又AABAD，因而PH平面ABCD，故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，PEBD，从而PEH是二面角ABDP的平面角。由题设可得，134,13,2,160cos,360sin22BHBDADHEADABBDAHABBHPAAHPAPH于是再PHERT中，439tanPEH所以二面角ABDP的大小为439arctan．（20）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解：2()1afxx，由导数的几何意义得(2)3f，于是8a．由切点(2,(2))Pf在直线31yx上可得27b，解得9b．7cos222PABABPAABPAPB所以函数()fx的解析式为8()9fxxx．（Ⅱ）解：2()1afxx．当0a时，显然()0fx（0x）．这时()fx在(,0)，(0,)上内是增函数．当0a时，令()0fx，解得xa．当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表：x(,)aa(,0)a(0,)aa(),a()fx＋0－－0＋()fx↗极大值↘↘极小值↗所以()fx在(,)a，(),a内是增函数，在(,0)a，(0,)内是减函数．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，()fx在1[,1]4上的最大值为1()4f与(1)f的较大者，对于任意的1[,2]2a，不等式0(1)fx在1[,1]4上恒成立，当且仅当10(11(4)10)ff，即39449abab，对任意的1[,2]2a成立．从而得74b，所以满足条件的b的取值范围是(7,]4．（21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．（Ⅰ）解：设双曲线C的方程为22221xyab（0,0ab）．由题设得22952abba，解得2245ab，所以双曲线方程为22145xy．（Ⅱ）解：设直线l的方程为ykxm（0k）．点11(,)Mxy，22(,)Nxy的坐标满足方程组22145ykxmxy将①式代入②式，得22()145xkxm，整理得222(54)84200kxkmxm．此方程有两个一等实根，于是2504k，且222(8)4(54)(420)0kmkm．整理得22540mk．③由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标00(,)xy满足12024254xxkmxk，002554mykxmk．从而线段MN的垂直平分线方程为22514()5454mkmyxkkk．此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为29(,0)54kmk，29(0,)54mk．由题设可得2219981||||254542kmmkk．整理得222(54)|