2008年高考试题——数学文（辽宁卷）

2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）第Ⅰ卷（选择题共60分）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)S=4πR2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B)球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么V=43πR3n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径Pn(k)=CknPk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合M=｛x|-3＜x＜1|,N={x|x≤-3},则MN(A)(B){x|x≥-3}(C){x|x≥1}(D){x|x＜1|(2)若函数1yxxa为偶函数，则a(A)2(B)1(C)1(D)2(3)圆221xy与直线2ykx没有公共点的充要条件是(A)2,2(k)(B)3,3(k)(C)k),2()2,((D)k),3()3,((4)已知0＜a＜1,log2log3aax,1log5,log21log32aaayz,则(A)x＞y＞z(B)z＞y＞x(C)y＞x＞z(D)z＞x＞y(5)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且ADBC2,则顶点D的坐标为(A)(2,27)(B)(2,－21)(C)(3,2)(D)(1,3)(6)设P为曲线2:23Cyxx上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为4,0，则点P横坐标的取值范围为(A)21,1(B)[-1,0](C)[0,1](D)1,21(7)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(A)31(B)21(C)32(D)43(8)将函数y=2x+1的图象按向量a平移得到函数y=2x+1的图象，则(A)a=(-1,-1)(B)a=(1,-1)(C)a=(1,1)(D)a=(-1,1)(9)已知变量,xy满足约束条件,01,013,01xyxyxy则2zxy的最大值为(A)4(B)2(C)1(D)4(10)一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有(A)24种(B)36种(C)48种(D)72种（11）已知双曲线222910ymxm的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m(A)1(B)2(C)3(D)4（12）在正方体1111ABCDABCD中，EF、分别为棱11,AACC的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线()A不存在(B)有且只有两条(C)有且只有三条(D)有无数条第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）函数23()xyex的反函数是.（14）在体积为43的球的表面上有A、B、C三点，AB=1,BC=2，A、C两点的球面距离为33，则球心到平面ABC的距离为.（15）3621(1)()xxx展开式中的常数项为.（16）设(0,)2x，则函数22sin1sin2xyx的最小值为.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）在△ABC中，内角,,ABC，对边的边长分别是,,abc.已知2,3cC.（Ⅰ）若△ABC的面积等于3，求,ab;（Ⅱ）若sin2sinBA，求△ABC的面积.（18）（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：周销售量234频数205030（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率;（Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求（i）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率;（ii）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率.（19）（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD中，AP=BQ=b（0＜b＜1），截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′.（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直;（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值;（Ⅲ）若12b，求D′E与平面PQEF所成角的正弦值.（20）（本小题满分12分）已知数列{an},{bn}是各项均为正数的等比数列，设(N*)nnnbcna.（Ⅰ）数列{cn}是否为等比数列？证明你的结论;（Ⅱ）设数列ln,lnnnab的前n项和分别为,nnST.若12,,21nnSnaTn求数列{cn}的前n项和.(21)（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（0，－3）、（0，3）的距离之和等于4.设点P的轨迹为C.(Ⅰ)写出C的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+1与C交于A、B两点.k为何值时?OBOA此时|AB|的值是多少？(22)（本小题满分14分）设函数322()31fxaxbxaxabR、在12,xxxx处取得极值，且122xx.(Ⅰ)若a=1，求b的值，并求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若a＞0，求b的取值范围.答案一、选择题1.答案：D解析：本小题主要考查集合的相关运算知识。依题意31,Mxx3Nxx„，∴{|1}MNxx.2.答案：C解析：本小题主要考查函数的奇偶性。(1)2(1),fa(1)0(1),ff1.a3.答案：B解析：本小题主要考查直线和圆的位置关系。依题圆221xy与直线2ykx没有公共点2211dk(33).k，4.答案：C解析：本小题主要考查对数的运算。log6,axlog5,aylog7,az由01a知其为减函数,yxz5.答案：A解析：本小题主要考查平面向量的基本知识。(4,3),BC(,2),ADxy且2BCAD，22472432xxyy6.答案：A解析：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题。依题设切点P的横坐标为0x,且0'22tanyx（为点P处切线的倾斜角），又∵[0,]4，∴00221x，∴01[1,].2x7.答案：C解析：本小题主要考查等可能事件概率求解问题。依题要使取出的2张卡片上的数字之和为奇数，则取出的2张卡片上的数字必须一奇一偶，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率11222342.63CCPC8.答案：A解析：本小题主要考查函数图像的平移与向量的关系问题。依题由函数21xy的图象得到函数12xy的图象，需将函数21xy的图象向左平移1个单位，向下平移1个单位；故(11).，a9.答案：B解析：本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个三角形,其三个顶点为(01),，(10),，(12),，验证知在点(10)，时取得最大值2.10.答案：B解析：本小题主要考查排列组合知识。依题若第一道工序由甲来完成，则第四道工序必由丙来完成，故完成方案共有2412A种；若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由甲、丙二人之一来完成，故完成方案共有12A2424A种；∴则不同的安排方案共有21242436AAA种。11.答案：D解析：本小题主要考查双曲线的知识。2221191(0),,3ymxmabm取顶点1(0,)3,一条渐近线为30,mxy221|3|139254.59mmm12.答案：D解析：本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生的空间想象能力。在EF上任意取一点M,直线11AD与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N,当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点的.如右图：二、填空题13.答案：1(ln1)(0)2yxx解析：本小题主要考查反函数问题。21121ln(ln1),2xyexyxy所以反函数是1(ln1)(0).2yxx14.答案：32解析：本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离。设球的半径为R,则34433VR,∴3.R设A、C两点对球心张角为，则333ACR,∴3,∴3AC,∴AC为ABC所在平面的小圆的直径，∴90ABC,设ABC所在平面的小圆圆心为'O，则球心到平面ABC的距离为'dOO2'22333().22RBO15.答案：35解析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。考查621xx的通项公式,66316621(),rrrrrrTCxCxx所以展开式中的常数项共有两种来源:①630,2,rr2615;C②633,3,rr3620;C相加得15+20=35.16.答案：3解析：本小题主要考查三角函数的最值问题。22sin12cos2,sin2sin2xxykxx取(0,2),A22(sin2,cos2)1Bxxxy的左半圆,作图(略)易知mintan603.k三、解答题17.本小题主要考查三角形的边角关系等基础知识，考查综合计算能力．满分12分．解：（Ⅰ）由余弦定理得，224abab，又因为ABC△的面积等于3，所以1sin32abC，得4ab．························4分联立方程组2244ababab，，解得2a，2b．··············································6分（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为2ba，························································8分联立方程组2242ababba，，解得233a，433b．所以ABC△的面积123sin23SabC．······················································12分18.本小题主要考查频率、概率等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分．解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3．····························4分（Ⅱ）由题意知一周的销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3，故所求的概率为（ⅰ）4110.70.7599P．························································································8分（ⅱ）334240.50.30.30.0621PC．······························································12分19.本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力．满分12分．解法一：（Ⅰ）证明：在正方体中，ADAD，ADAB，又由已知可得PFAD∥，PHAD∥，PQAB∥，所以PHPF，PHPQ，所以PH平面PQEF．所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．······