2008年高考试题——数学文（山东卷）

2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学第Ⅰ卷（共60分）参考公式：锥体的体积公式：13VSh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．球的表面积公式：24πSR，其中R是球的半径．如果事件AB，互斥，那么()()()PABPAPB．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．满足1234Maaaa，，，，且12312Maaaaa，，，的集合M的个数是（）A．1B．2C．3D．42．设z的共轭复数是z，若4zz，8zz，则zz等于（）A．iB．iC．1D．i3．函数ππlncos22yxx的图象是（）4．给出命题：若函数()yfx是幂函数，则函数()yfx的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）A．3B．2C．1D．05．设函数2211()21xxfxxxx，，，，≤则1(2)ff的值为（）A．1516B．2716C．89D．186．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，yxπ2π2Oyxπ2π2Oyxπ2π2Oyxπ2π2OA．B．C．D．俯视图正(主)视图侧(左)视图2322可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π7．不等式252(1)xx≥的解集是（）A．132，B．132，C．11132，，D．11132，，8．已知abc，，为ABC△的三个内角ABC，，的对边，向量(31)(cossin)AA，，，mn．若mn，且coscossinaBbAcC，则角AB，的大小分别为（）A．ππ63，B．2ππ36，C．ππ36，D．ππ33，9．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（）分数54321人数2010303010A．3B．2105C．3D．8510．已知π4cossin365，则7πsin6的值是（）A．235B．235C．45D．4511．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430xy和x轴相切，则该圆的标准方程是（）A．227(3)13xyB．22(2)(1)1xyC．22(1)(3)1xyD．223(1)12xy12．已知函数()log(21)(01)xafxbaa，的图象如图所示，则ab，满足的关系是（）A．101abB．101baC．101baD．1101ab1Oyx第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知圆22:6480Cxyxy．以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为．14．执行右边的程序框图，若0.8p，则输出的n．15．已知2(3)4log3233xfx，则8(2)(4)(8)(2)ffff的值等于．16．设xy，满足约束条件20510000xyxyxy，，，，≥≤≥≥则2zxy的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．（本小题满分12分）已知函数()3sin()cos()fxxx（0π，0）为偶函数，且函数()yfx图象的两相邻对称轴间的距离为π2．（Ⅰ）求π8f的值；（Ⅱ）将函数()yfx的图象向右平移π6个单位后，得到函数()ygx的图象，求()gx的单调递减区间．18．（本小题满分12分）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123AAA，，通晓日语，123BBB，，通晓俄语，12CC，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（Ⅰ）求1A被选中的概率；开始10nS，Sp?是输入p结束输出n12nSS否1nn（Ⅱ）求1B和1C不全被选中的概率．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC∥，PAD△是等边三角形，已知28BDAD，245ABDC．（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；（Ⅱ）求四棱锥PABCD的体积．20．（本小题满分12分）将数列na中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a记表中的第一列数1247aaaa，，，，构成的数列为nb，111ba．nS为数列nb的前n项和，且满足221(2)nnnnbnbSS≥．（Ⅰ）证明数列1nS成等差数列，并求数列nb的通项公式；（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a时，求上表中第(3)kk≥行所有项的和．21．（本小题满分12分）ABCMPD设函数2132()xfxxeaxbx，已知2x和1x为()fx的极值点．（Ⅰ）求a和b的值；（Ⅱ）讨论()fx的单调性；（Ⅲ）设322()3gxxx，试比较()fx与()gx的大小．22．（本小题满分14分）已知曲线11(0)xyCabab：所围成的封闭图形的面积为45，曲线1C的内切圆半径为253．记2C为以曲线1C与坐标轴的交点为顶点的椭圆．（Ⅰ）求椭圆2C的标准方程；（Ⅱ）设AB是过椭圆2C中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上异于椭圆中心的点．（1）若MOOA（O为坐标原点），当点A在椭圆2C上运动时，求点M的轨迹方程；（2）若M是l与椭圆2C的交点，求AMB△的面积的最小值．2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学（答案）一、选择题1．B解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。集合M中必含有12,aa,则12,Maa或124,,Maaa.选B.2．D解析：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算。可设2zbi，由8zz得248,2.bb2222.88izziz选D.3．A解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。lncos()22yxx是偶函数，可排除B、D，由cosx的值域可以确定.选A.4．C解析：本小题主要考查四种命题的真假。易知原命题是真命题,则其逆否命题也是真命题,而逆命题、否命题是假命题.故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题有一个。选C.5．A解析：本小题主要考查分段函数问题。正确利用分段函数来进行分段求值。(2)4,f11115()1.(2)41616fff选A.6．D解析：本小题主要考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为22411221312.S选D。7．D解析：本小题主要考查分式不等式的解法。易知1x排除B;由0x符合可排除C;由3x排除A,故选D。也可用分式不等式的解法,将2移到左边直接求解。8．C解析：本小题主要考查解三角形问题。3cossin0AA，;3A2sincossincossin,ABBAC2sincossincossin()sinsinABBAABCC，.2Cπ6B.选C.本题在求角B时,也可用验证法.9．B解析：本小题主要考查平均数、方差、标准差的概念及其运算。100409060103,100x2222121[()()()]nSxxxxxxn22221[202101301102]1001608,1005210.5S选B.10．C解析：本小题主要考查三角函数变换与求值。334cos()sincossin36225，134cossin225，7314sin()sin()sincos.66225选C.11．B解析：本小题主要考查圆与直线相切问题。设圆心为(,1),a由已知得|43|11,2().52ada舍选B.12．A解析：本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。由图易得1,a101;a取特殊点01log0,axyb11logloglog10,aaaba101ab.选A.二、填空题13．221412xy解析：本小题主要考查圆、双曲线的性质。圆22:6480Cxyxy20680,yxx得圆C与坐标轴的交点分别为(20),，(40),，则22,4,12,acb所以双曲线的标准方程为221412xy14．4解析：本小题主要考查程序框图。1110.8248，因此输出4.n15．2008解析：本小题主要考查对数函数问题。22(3)4log32334log3233,xxfx2()4log233,fxx8(2)(4)(8)(2)ffff222282334(log22log23log28log2)18641442008.16．11解析：本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个四角形,其四个顶点分别为(0),，0(0),，2(20),，(35),，验证知在点(35)，时取得最大值11.三、解答题17．解：（Ⅰ）()3sin()cos()fxxx312sin()cos()22xxπ2sin6x．因为()fx为偶函数，所以对xR，()()fxfx恒成立，因此ππsin()sin66xx．即ππππsincoscossinsincoscossin6666xxxx，整理得πsincos06x．因为0，且xR，所以πcos06．又因为0π，故ππ62．所以π()2sin2cos2fxxx．由题意得2ππ22，所以2．故()2cos2fxx．因此ππ2cos284f．（Ⅱ）将()fx的图象向右平移π6个单位后，得到π6fx的图象，所以πππ()2cos22cos2663gxfxxx．当π2π22ππ3kxk≤≤（kZ），即π2πππ63kxk≤≤（kZ）时，()gx单调递减，因此()gx的单调递减区间为π2πππ63kk，（kZ）．18．解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间{111112121()()()ABCABCABC，，，，，，，，，122131()()ABCABC，，，，，，132()ABC，，，211212221()()()ABCABCABC，，，，，，，，，222()ABC，，，231()ABC，，，232()ABC，，，311312321()()()ABCABCABC，，，，，，，，，322331332()()()ABCABCABC，，，，，，，，}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“1A恰被选中”这一事件，则M{111112121()()()ABCABCABC，，，，，，，，，122131132()()()ABCABCABC，，，，，，，，}事件M由6个基本事件组成，因而61()183PM．（Ⅱ）用N表示“11BC，不全被选中”这一事件，