2008年高考试题——数学文（浙江卷）

2008年普通高等学校统一考试（浙江卷）数学(文科)试题第Ⅰ卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合,21|,0|xxBxxA则BA=(A)1|xx(B)2|xx(C)20|xx(D)21|xx(2)函数1)cos(sin2xxy的最小正周期是（A）2（B）(C)23(D)2(3)已知a,b都是实数，那么“22ab”是“ab”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（4）已知{an}是等比数列，2512,4aa,则公比q=(A)21(B)-2(C)2(D)21(5)已知则且,2,0,0baba(A)21ab(B)21ab(C)222ba(D)322ba(6)在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含4x的项的系数是（A）-15（B）85（C）-120（D）274（7）在同一平面直角坐标系中，函数)2,0)(232cos(xxy的图象和直线21y的交点个数是（A）0（B）1（C）2（D）4（8）若双曲线12222byax的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2，则双曲线的离心率是（A）3（B）5（C）3（D）5（9）对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得（A）ba,（B）ba,∥α（C）ba,(D)ba,(10)若,0,0ba且当1,0,0yxyx时,恒有1byax,则以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积是(A)21(B)4(C)1(D)2第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。（11）已知函数)1(|,2|)(2fxxxf则.(12)若2cos,53)2sin(则.(13)已知F1、F2为椭圆192522yx的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=。（14）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若,coscos)3(CaAcb则cosA=.(15)如图，已知球O的面上四点ABCD、、、，DA⊥平面ABC。AB⊥BC，DA=AB=BC=3，则球O的体积等于。（16）已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a-b)=0,则|b|的取值范围是.（17）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻。这样的六位数的个数是（用数字作答）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。（18）（本题14分）已知数列nx的首项13x，通项2*,,nnxpnpnNpq为常数，且成等差数列。求：（Ⅰ）p,q的值；(Ⅱ)数列nx前n项和nS的公式。（19）（本题14分）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球，已知袋中共有10个球，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52;从中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是97.求：（Ⅰ）从中任意摸出2个球，得到的数是黑球的概率；（Ⅱ）袋中白球的个数。（20）（本题14分）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，,∠BCF=∠CEF=90°,AD=.2,3EF（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°？（21）（本题15分）已知a是实数，函数2()fxxxa.（Ⅰ）若f1(1)=3,求a的值及曲线)(xfy在点))1(,1(f处的切线方程；（Ⅱ）求)(xf在区间[0，2]上的最大值。（22）（本题15分）已知曲线C是到点)83,21(P和到直线85y距离相等的点的轨迹，l是过点Q（-1，0）的直线，M是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，xMBlMA,轴（如图）。（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）求出直线l的方程，使得||||2QAQB为常数。数学（文科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。（1）A（2）B（3）D（4）D（5）C（6）A（7）C（8）D（9）B（10）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。（11）2（12）257（13）8（14）33（15）29（16）[0,1]（17）40三、解答题（18）本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力。满分14分。（Ⅰ）解：由得,31x解得得且又,82523,2,52,42,32554315544qpqpxxxqpxqpxqpⅡp=1,q=1(Ⅱ)解：.2)1(22)21()222(12nnnSnnn（19）本题主要考查排列组合、概率等基础知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力。满分14分。（Ⅰ）解：由题意知，袋中黑球的个数为.45210记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球”为事件A，则.152)(21024CCAP（Ⅱ）解：记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B。设袋中白球的个数为x，则,971)(1)(221nnCCBPBP得到x=5(20)本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力。满分14分。方法一：（Ⅰ）证明：过点E作EG⊥CF并CF于G，连结DG，可得四边形BCGE为矩形。又ABCD为矩形，所以AD⊥∥EG,从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG。因为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF。（Ⅱ）解：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连结AH。由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF，所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角。在Rt△EFG中，因为EG=AD=.1,60,2,3FGCFEEF所以又因为CE⊥EF，所以CF=4，从而BE=CG=3。于是BH=BE·sin∠BEH=.233因为AB=BH·tan∠AHB,所以当AB为29时，二面角A-EF-G的大小为60°.方法二：如图，以点C为坐标原点，以CB、CF和CD分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz.设AB=a,BE=b,CF=c,则C（0，0，0），A（),0,0,3(),,0,3Ba).0,,0(),0,,3(cFbE（Ⅰ）证明：),0,,0(),0,0,3(),,,0(bBECBabAE所以,,,0,0BECBAECBBECBAECB从而所以CB⊥平面ABE。因为GB⊥平面DCF，所以平面ABE∥平面DCF故AE∥平面DCF（II）解：因为(30)(30)EFcbCEb，-，，，，，所以0.2EFCEEF，从而23()0,3()2.bcbcb解得b＝3，c＝4．所以(3,3,0)(0,4,0)EF.．设(1,,)nyz与平面AEF垂直，则n0,n0AEEF，解得33(1,3,)na．又因为BA⊥平面BEFC，(0,0,)BAa，所以2331cos,2427BAnanBABAnaa，得到92a．所以当AB为92时，二面角A－EFC的大小为60°．（21）本题主要考查基本性质、导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。满分15分。（I）解：2'()32fxxax．因为'(I)323fa，所以0a．又当0a时，(I)1,'(I)3ff，所以曲线()(1,(I))yfxf在处的切线方程为3xy--2=0．（II）解：令'()0fx，解得1220,3axx．当203a，即a≤0时，()fx在[0，2]上单调递增，从而max(2)84ffa．当223a时，即a≥3时，()fx在[0，2]上单调递减，从而max(0)0ff．当2023a，即03a，()fx在20,3a上单调递减，在2,23a上单调递增，从而max84,02.0,23.aafa综上所述，max84,2.0,2.aafa（22）本题主要考查求曲线轨迹方程，两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。（I）解：设(,)Nxy为C上的点，则2213()(y)28|NP|=x+．N到直线58y的距离为58y．由题设得22135()(y)288x+y．化简，得曲线C的方程为21()2yxx．（II）解法一：设2(,)2xxMx，直线l：ykxk，则(,)Bxkxk，从而211QBkx．在Rt△QMA中，因为22(1)(1)4xQMx，222(1)()21xxkMA+k．所以222222(1)(2)4(1)xQAQMAMkxk21221xkxQAk，2222(1)112QBkkxQAkx+k当k＝2时，255QBQA从而所求直线l方程为220xy解法二：设2(,)2xπMx，直线直线l：ykxk，则(,)Bxkxk，从而211QBkx过(1,0)垂直于l的直线l1：(1)1y=xk，因为QAMH，所以21221xkxQAk，2222(1)112QBkkxQAkx+k，当k＝2时，255QBQA，从而所求直线l方程为220xy