2008年高考试题——数学文（天津卷）

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。3.本卷共10小题，每小题5分，共50分。参考公式：如果时间A，B互斥，那么球的表面积公式P（A+B）=P（A）+P（B）24SR.如果事件A，B相互独立，那么其中R表示球的半径.P（A·B）=P（A）·P（B）一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）设集合|0{8}xxNU，{1,2,4,5}S，{3,5,7}T，则()USTð（A）{1,2,4}（B）{1,2,3,4,5,7}（C）{1,2}（D）{1,2,4,5,6,8}解析：因为{1,2,4,6,8}TUð，所以(){1,2,4}USTð，选A．（2）设变量yx,满足约束条件1210yxyxyx，则目标函数yxz5的最大值为（A）2（B）3（C）4（D）5解析：如图，由图象可知目标函数yxz5过点(1,0)A时z取得最大值，max5z，选D．（3）函数1yx（04x）的反函数是（A）2(1)yx（13x）（B）2(1)yx（04x）（C）21yx（13x）（D）21yx（04x）解析：当04x时，[,3]11x，解1yx得12()(1)fxx，选A．（4）若等差数列{}na的前5项和525S，且23a，则7a（A）12（B）13（C）14（D）15解析：1524545()5()722aaaaSa，所以4272255132aaaada，选B．（5）设ba,是两条直线，,是两个平面，则ba的一个充分条件是（A）,//,ba（B）//,,ba（C）//,,ba（D）,//,ba解析：选C，A、B、D的反例如图．（6）把函数sinyx（xR）的图象上所有点向左平行移动3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（A）sin(2)3yx，xR（B）sin()26xy，xR（C）sin(2)3yx，xR（D）sin(2)32yx，xR解析：选C,132sinsin()sin(2)33yxyxyx向左平移个单位横坐标缩短到原来的倍．（7）设椭圆22221xymn（0m，0n）的右焦点与抛物线28yx的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（A）2211216xy（B）2211612xy（C）2214864xy（D）2216448xy解析：抛物线的焦点为(2,0)，椭圆焦点在x轴上，排除A、C，由12e排除D，选B．（8）已知函数2,0()2,0xxfxxx，则不等式2()fxx的解集是（A）[1,1]（B）[2,2]（C）[2,1]（D）[1,2]解析：依题意得221100001122xxxxxxxxx或或，选A．（9）设5sin7a，2cos7b，2tan7c，则（A）cba（B）acb（C）acb（D）bac解析：2sin7a，因为2472，所以220cossin1tan7772，选D．（10）设1a，若对于任意的[,2]xaa，都有2[,]yaa满足方程loglog3aaxy，这时a的取值集合为（A）2{|1}aa（B）{|}2aa（C）3|}2{aa（D）{2,3}解析：易得3ayx，在[,2]aa上单调递减，所以22[,]2yaa，故2122aaaa，选B．第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上3．本卷共12小题，共100分。二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）（11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．解析：依题意知抽取超过45岁的职工为258010200．（12）52()xx的二项展开式中，3x的系数是________________（用数字作答）．解析：5521552()2rrrrrrrTCxCxx，1r，所以系数为10．（13）若一个球的体积为34，则它的表面积为________________．解析：由34433R得3R，所以2142SR．（14）已知平面向量(2,4)a，(1,2)b．若()caabb，则||c_____________．解析：因为(2,4)6(1,2)(8,8)c，所以||82c．（15）已知圆C的圆心与点(2,1)P关于直线1yx对称．直线34110xy与圆C相交于BA,两点，且6AB，则圆C的方程为_______________________．解析：圆心的坐标为(0,1)，所以2222(411)3185r，圆的方程为22(1)18xy．（16）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（用数字作答）．解析：数字之和为10的情况有4，4，1，1、4，3，2，1、3，3，2，2．所以共有44444442218432AAA种不同排法．三、解答题（本题共6道大题，满分76分）（17）（本小题满分12分）已知函数22s(incoss1)2cofxxxx（,0xR）的最小值正周期是2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数()fx的最大值，并且求使()fx取得最大值的x的集合．（17）本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数sin()yAx的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：242sin224sin2cos4cos2sin222cos2sin12sin22cos12xxxxxxxxf由题设，函数xf的最小正周期是2，可得222，所以2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，244sin2xxf．当kx2244，即Zkkx216时，44sinx取得最大值1，所以函数xf的最大值是22，此时x的集合为Zkkxx,216|．（18）（本小题满分12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p，且乙投球2次均未命中的概率为161．（Ⅰ）求乙投球的命中率p；（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．（18）本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．由题意得1611122pBP解得43p或45（舍去），所以乙投球的命中率为43．解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．由题意得1()()16PBPB，于是1()4PB或1()4PB（舍去），故31()4pPB．所以乙投球的命中率为34．（Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知21,21APAP．故甲投球2次至少命中1次的概率为431AAP解法二：由题设和（Ⅰ）知21,21APAP故甲投球2次至少命中1次的概率为4312APAPAPAPC（Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，41,43,21,21BPBPAPAP甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中2次。概率分别为1631212BPBPCAPAPC，641BBPAAP，649BBPAAP所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为3211649641163．（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是矩形．已知60,22,2,2,3PABPDPAADAB．（Ⅰ）证明AD平面PAB；（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角ABDP的大小．（19）本小题主要考查直线和平面垂直，异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明：在PAD中，由题设22,2PDPA可得222PDADPA于是PAAD.在矩形ABCD中，ABAD.又AABPA，所以AD平面PAB．（Ⅱ）解：由题设，ADBC//，所以PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角.在PAB中，由余弦定理得由（Ⅰ）知AD平面PAB，PB平面PAB，所以PBAD，因而PBBC，于是PBC是直角三角形，故27tanBCPBPCB．7cos222PABABPAABPAPB所以异面直线PC与AD所成的角的大小为27arctan．（Ⅲ）解：过点P做ABPH于H，过点H做BDHE于E，连结PE因为AD平面PAB，PH平面PAB，所以PHAD.又AABAD，因而PH平面ABCD，故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，PEBD，从而PEH是二面角ABDP的平面角。由题设可得，134,13,2,160cos,360sin22BHBDADHEADABBDAHABBHPAAHPAPH于是再PHERT中，439tanPEH所以二面角ABDP的大小为439arctan．（20）（本小题满分12分）在数列{}na中，11a，22a，且11(1)nnnaqaqa（2,0nq）．（Ⅰ）设1nnnbaa（*nN），证明{}nb是等比数列；（Ⅱ）求数列{}na的通项公式；（Ⅲ）若3a是6a与9a的等差中项，求q的值，并证明：对任意的*nN，na是3na与6na的等差中项．（20）本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分．（Ⅰ）证明：由题设11(1)nnnaqaqa（2n），得11()nnnnaaqaa，即1nnbqb，2n．又1211baa，0q，所以{}nb是首项为1，公比为q的等比数列．（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）211aa，32aaq，……21nnaaq，（2n）．将以上各式相加，得211nnaaqq（2n）．所以当2n时，11,,.1,111nnqqqanq上式对1n显然成立．（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当1q时，显然3a不是6a与9