2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学文

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至9页，共150分，考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡颇擦干净后，再选涂其他答案。不能答在试卷上。一、题共8小题，第小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合A={x|-2≤x≤3}≤3,B={x|x-1或x4},则集合A∩B等于（A）{x|x≤3或x4}（B）{x|－1x≤3}（C）{x|3≤x4}(D){x|－2≤x-1}（2）若a=log,π,b=log,6，c=log20.8,则（A）abc（B）bac（C）cab（D）bca（3）“双黄线的方程为116922yx”是“双曲线的准线方程为x=59”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）即不充分也不必要条件（4）已知△ABC中，a=2,b=3,B=60°,那么角A等于（A）135°(B)90°(C)45°(D)30°（5）函数f(x)=(x-1)2+1(x1)的反函数为（A）f--1(x)=1+1x(x1)（B）f--1(x)=1-1x(x1)（A）f--1(x)=1+1x(x≥1)（A）f--1(x)=1-1x(x≥1)x-y+1≥0,（6）若实数x，y满足x+y≥0,则z=x+2y的最小值是x≤0,(A)0(B)21(C)1(D)2（7）已知等差数列｛an｝中，a2=6,a5=15.若bn=a2n,则数列｛bn｝的前5项和等于(A)30（B）45(C)90(D)186（8）如图，动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，过点P作垂直平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M、N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是绝密★使用完毕前2008年普通高等学校校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号二三总分151617181920分数得分评分人二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。(9)若角α的终边经过点P(1,-2),则tan2α的值为.(10)不等式121xx的解集是.(11)已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜=|b|=4,那么a·b的值为.(12)若532)1(xx展开式的各项数之和为;各项系数之和为.（用数字作答）(13)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f(f(0))=;函数f(x)在x=1处的导数f′（1）=.(14)已知函数f(x)=x2=-cosx,对于［－22ππ，］上的任意x1,x2,有如下条件：①x1x2;②x21x22;③|x1|x2.其中能使f(x1)f(x2)恒成立的条件序号是.三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明。演算步骤或证明过程。得分评分人（15）（本小题共13分）已知函数2()sin3sinsin()(0)2fxxxx的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0，23]上的取值范围.得分评分人（16）（本小题共14分）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小.得分评分人（17）（本小题共13分）已知函数32()3(0),()()2fxxaxbxcbgxfx且是奇函数.（Ⅰ）求a,c的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间.得分评分人（18）（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.得分评分人（19）（本小题共14分）已知△ABC的顶点A，B在椭圆2234xy上，C在直线l:y=x+2上，且AB∥l.（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程.得分评分人（20）（本小题共13分）数列{an}满足2111,()(1,2,),.nnaannan是常数（Ⅰ）当a2=-1时，求λ及a3的值；（Ⅱ）数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅲ）求λ的取值范围，使得存在正整数m,当n＞m时总有an＜0.绝密★考试结束前2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）D（2）A（3）A（4）C（5）B（6）A（7）C（8）B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）43（10）|x|x＜-2|（11）-8（12）1032（13）2-2（14）②三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）1cos23()sin222xfxx=311sincos2222xx=1sin(2).62x因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω＞0，所以22解得ω=1.（Ⅱ）由（Ⅰ）得1()sin(2).62fxx因为0≤x≤23，所以12≤26x≤7.6所以12≤(2)6x≤1.因此0≤1sin(2)62x≤32，即f(x)的取值范围为[0，32]（16）（共14分）解法一：（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD.∵AP=BP，∴PD⊥AB.∵AC=BC.∴CD⊥AB.∵PD∩CD＝D.∴AB⊥平面PCD.∵PC平面PCD，∴PC⊥AB.（Ⅱ）∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC，∴PC⊥BC.又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，∴AB＝BP，∴BE⊥AP.∵EC是BE在平面PAC内的射影，∴CE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.在△BCE中，∠BCE=90°,BC=2,BE=623AB，∴sin∠BEC=.36BEBC∴二面角B-AP-C的大小为aresin.36解法二：（Ⅰ）∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC.∴PC⊥BC.∵AC∩BC=C,∴PC⊥平面ABC.∵AB平面ABC，∴PC⊥AB.(Ⅱ)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.设P（0，0，t）,∵｜PB｜=｜AB｜＝22，∴t=2,P(0,0,2).取AP中点E，连结BE，CE.∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,∴CE⊥AP,BE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.∵E(0,1,1),),1,1,2(),1,1,0(EBEC∴cos∠BEC=.33622EBECEBEC∴二面角B-AP-C的大小为arccos.33（17）（共13分）解：（Ⅰ）因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数，所以，对任意的x∈R,g(-x)=-g(x),即f(-x)-2=-f(x)+2.又f(x)=x3+ax2+3bx+c,所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2.所以.22,ccaa解得a=0，c＝2.（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=x3+3bx+2.所以f′(x)=3x2+3b(b≠0).当b＜0时，由f′(x)=0得x=±.bx变化时，f′(x)的变化情况如下表：x(-∞,-b)-b(-b,b)b(b,+∞)f′(x)+0-0+所以，当b＜0时，函数f(x)在（-∞，-b）上单调递增，在（-b，b）上单调递减，在（b，+∞）上单调递增.当b＞0时，f′(x)＞0.所以函数f(x)在（-∞，+∞）上单调递增.（18）（共13分）解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么P（EA）=.401442333ACA即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.401（Ⅱ）记甲、乙两个同时参加同一岗位服务为事件E，那么P（E）＝.101442344ACA所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P（E）=1-P(E)=.109（19）（共14分）解：（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x.设A，B两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由2234,xyyx得1,x所以12222.ABxx又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，所以12.2.2ABChSABh（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m.由2234,xyyxm得2246340.xmxm因为A，B在椭圆上，所以212640.m＞设A，B两点坐标分别为（x1,y1），（x2,y2）.则21212334,,24mmxxxx所以2123262.2mABxx又因为BC的长等于点（0,m）到直线l的距离，即2.2mBC所以22222210(1)11.ACABBCmmm所以当m=-1时，AC边最长.（这时12640＞）此时AB所在直线的方程为y=x-1.(20)（共13分）解：（Ⅰ）由于21()(1,2,),nnannan且a1=1，所以当a2=-1时，得12,故3.从而23(223)(1)3.a（Ⅱ）数列{an}不可能为等差数列.证明如下：由a1=1，21()nnanna得2342,(6)(2),(12)(6)(2).aaa若存在，使｛an｝为等差数列，则a3-a2=a2-a1,即(5)(2)1，解得=3.于是214312,(11)(6)(2)24.aaaa这与｛an｝为等差数列矛盾，所以，对任意，{an}都不可能是等差数列.（Ⅲ）记2(1,2,),nbnnn根据题意可知，b1＜0且0nb，即＞2且2(nnnN*)，这时总存在0nN*，满足：当n≥n0时，bn＞0；当n≤n0-1时，bn＜0.所以由an+1=bnan及a1=1＞0可知，若n0为偶数，则00na＜，从而当n＞n0时an＜0；若n0为奇数，则00na＞，从而当n＞n0时an＞0.因此“存在mN*，当n＞m时总有an＜0”的充分必要条件是：no为偶数，记no=2k(k=1,2,…)，则满足22221(2)20(21)210.kkbkkbkk＞，＜故的取值范围是242kk＜＜4k2+2k(kN*).