菱形的性质及判定.教师版

1/25知识点A要求B要求Ｃ要求菱形会识别菱形掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质及判定解决简单问题会用菱形的知识解决有关问题1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且四边相等．②角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．4．三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线．以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质．中点中点中点平行定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．知识点睛中考要求菱形的性质及判定2/25重点是菱形的性质及判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程中应给予足够重视。板块一、菱形的性质【例1】菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2星【关键词】【解析】根据菱形的性质可知：共有8对【答案】8【例2】在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2星【关键词】【解析】根据菱形的性质可知：应当旋转至少180【答案】180【例3】如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm若墙上钉子间的距离16cmABBC，则1度．图21CBA【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2星【关键词】2009年，江西中考【解析】由题意可知：构成三角形为等边三角形【答案】120例题精讲重、难点3/25【例4】如图，在菱形ABCD中，60A，E、F分别是AB、AD的中点，若2EF，则菱形ABCD的边长是______．【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2星【关键词】2009年，漳州中考【解析】省略【答案】4【例5】如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EFAC于H，交CB的延长线于F，交AB于P，证明：AB与EF互相平分．PHFEDCBA【考点】菱形的性质及判定，平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】连接BD、AF、EB∵菱形ABCD中BDAC，EFAC，∴BD∥EF∵AD∥FC，∴四边形BDEF是平行四边形，∴EDFB∵AEED，∴AEFB又∵AEFB∥，∴四边形AFBE是平行四边形∴AB与EF互相平分【例6】如图1所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于．EFDBCA4/25图1HODCBA【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2星【关键词】2009年，本溪中考【解析】省略【答案】3【例7】如图，已知菱形ABCD的对角线8cm4cmACBDDEBC，，于点E，则DE的长为【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2星【关键词】【解析】省略【答案】85cm5【例8】菱形周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为．【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2星【关键词】【解析】菱形的边长为52413cm，由勾股数和菱形对角线的性质得另一对角线长为24cm，故面积为2120cm【答案】120【例9】菱形的周长为20cm，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2星【关键词】【解析】省略【答案】5【例10】如图2，在菱形ABCD中，6AC，8BD，则菱形的边长为（）A．5B．10C．6D．8图2DCBA5/25【考点】菱形的性质及判定【题型】选择【难度】2星【关键词】2009年，重庆江津中考【解析】由菱形的对角线互相垂直平分及勾股数可知选A【答案】A【例11】如图3，在菱形ABCD中，110A，E、F分别是边AB和BC的中点，EPCD于点P，则FPC（）A．35B．45C．50D．55图3EDPCFBA【考点】菱形的性质及判定【题型】选择【难度】2星【关键词】2009年，杭州市中考【解析】省略【答案】D【例12】如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（）A．15或30B．30或45C．45或60D．30或60【考点】菱形的性质及判定【题型】选择【难度】2星【关键词】2009年，绵阳市中考【解析】省略【答案】D【例13】菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，且AEBC，AFCD，那么EAF等于．【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2星【关键词】【解析】省略【答案】60【例14】已知菱形的一个内角为60，一条对角线的长为23，则另一条对角线的长为________．【考点】菱形的性质及判定6/25【题型】填空【难度】2星【关键词】2009年，辽宁朝阳中考【解析】省略【答案】2或6【例15】如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A．210cmB．220cmC．240cmD．280cm图1DCBA【考点】菱形的性质及判定【题型】选择【难度】3星【关键词】2009年，南宁市中考【解析】省略【答案】A【例16】已知菱形ABCD的两条对角线ACBD，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】4星【关键词】希望杯邀请赛【解析】如图，过点A作AEBC于E，则12ACBDBCAE，又2ACBDAB，得1302AEABABC，，150BADEDCBA【答案】150【例17】如图，菱形花坛ABCD的周长为20m，60ABC，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积．7/25图2ODCBA【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】∵四边形ABCD是菱形∴5ABBCCDDA∵60ABC∴ABC和ADC都是等边三角形∴5AC又∵ACBD在RtABO和RtADO中可得532BODO∴53BD∴125322ABCDSACBD点评：内角为60和120的菱形学生必须掌握，这是考试的热点模型．【答案】见解析【例18】如图，在菱形ABCD中，4ABaE，在BC上，2120BEaBADP，，点在BD上，则PEPC的最小值为EPDCBA【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】3星【关键词】【解析】AC，关于BD对称，连AE交BD于P，且22304223AEBCBAEPEPCAEaaa，，为最小值【答案】23a【例19】已知，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若AEAFEFAB，求C的度数．8/25FEDCBA【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】∵AEAB∴BAEB同理DAFD∵四边形ABCD是菱形∴ADBCBDBADC∥，，，∴AEBAFD∵BD∴BAEDAF∵DEEFAF，∴AEF△是等边三角形，∴60EAF设BAEx，则602BADx∵180ABEABEBAE，∴902xABE∵ADBC∥，∴180BBAD，∴906021802xx∴20x∴602100CBADx【答案】100【例20】已知，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且60BEAF，18BAE．求：CEF的度数．FEDCBAABCDEF【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】连接AC，∵四边形ABCD为菱形∴ABBCCDAD∴ABC△和ACD△为等边三角形∴60ABACBACDBAC，∵60EAF∴BAECAF∴ABEACF△≌△∴AEAF∵60EAF∴AEF△为等边三角形∴60AEF∵AECBBAEAEFCEF∴18CEF9/25分析：在矩形、菱形的定理题中，有时也常连对角线，把四边形问题转化为三角形问题．【答案】18板块二、菱形的判定【例21】如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．DCAB【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2星【关键词】2007年，四川成都【解析】ABADACBD，等；【答案】ABADACBD，【例22】如图，在ABC中，BD平分ABC，BD的中垂线交AB于点E，交BC于点F，求证：四边形BEDF是菱形FEDCBA【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】∵EF是BD的中垂线∴BEDEBFDF，，∴DBEBDE∵EBDDBF∴DBFEDB，所以BCDE∥同理ABDF∥所以四边形BEDF是菱形【例23】如图，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE．当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．EDCBA【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】3星10/25【关键词】2009年，娄底中考【解析】当2AEAD（或ADDE或12DEAE）时，四边形ABEC是菱形理由如下：∵2AEAD，∴ADDE又点D为BC中点，∴BDCD∴四边形ABEC为平行四形边∵ABAC∴四边形ABEC为菱形【答案】见解析【例24】已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F.求证：四边形AFCE是菱形.ODEFCAB【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】3星【关键词】2006年，盐城中考【解析】省略【答案】∵EF垂直平分AC，∴,EFACAOCO.∴90AOECOF.又∵ABCD平行四边形，∴EAOFCO.∴AOE≌COF.∴OEOF.∴四边形AECF是平行四边形.又由ACEF可知，四边形AECF是菱形.【例25】如图，在梯形纸片ABCD中，//ADBC，ADCD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结CE.求证：四边形CDCE是菱形．C'DCBAE【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】3星【关键词】2007年，云南双柏【解析】省略【答案】根据题意可知'CDECDE则'''CDCDCDECDECECE，，.11/25∵//ADBC，∴CDECDE.∴CDECED，∴CDCE.∴CDCDCECE，∴四边形CDCE为