模拟退火算法介绍

解析模拟退火算法一.爬山算法(HillClimbing)介绍模拟退火前，先介绍爬山算法。爬山算法是一种简单的贪心搜索算法，该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解，直到达到一个局部最优解。爬山算法实现很简单，其主要缺点是会陷入局部最优解，而不一定能搜索到全局最优解。如图1所示：假设C点为当前解，爬山算法搜索到A点这个局部最优解就会停止搜索，因为在A点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解。二.模拟退火(SA,SimulatedAnnealing)思想爬山法是完完全全的贪心法，每次都鼠目寸光的选择一个当前最优解，因此只能搜索到局部的最优值。模拟退火其实也是一种贪心算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。以图1为例，模拟退火算法在搜索到局部最优解A后，会以一定的概率接受到E的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达D点，于是就跳出了局部最大值A。模拟退火算法描述：若J(Y(i+1))=J(Y(i))(即移动后得到更优解)，则总是接受该移动若J(Y(i+1))J(Y(i))(即移动后的解比当前解要差)，则以一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程，这也是模拟退火算法名称的由来。根据热力学的原理，在温度为T时，出现能量差为dE的降温的概率为P(dE)，表示为：P(dE)=exp(dE/(kT))其中k是一个常数，exp表示自然指数，且dE0。这条公式说白了就是：温度越高，出现一次能量差为dE的降温的概率就越大；温度越低，则出现降温的概率就越小。又由于dE总是小于0（否则就不叫退火了），因此dE/kT0，所以P(dE)的函数取值范围是(0,1)。随着温度T的降低，P(dE)会逐渐降低。我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程，我们以概率P(dE)来接受这样的移动。关于爬山算法与模拟退火，有一个有趣的比喻：爬山算法：兔子朝着比现在高的地方跳去。它找到了不远处的最高山峰。但是这座山不一定是珠穆朗玛峰。这就是爬山算法，它不能保证局部最优值就是全局最优值。模拟退火：兔子喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间，它可能走向高处，也可能踏入平地。但是，它渐渐清醒了并朝最高方向跳去。这就是模拟退火。下面给出模拟退火的伪代码表示。三.模拟退火算法伪代码/**J(y)：在状态y时的评价函数值*Y(i)：表示当前状态*Y(i+1)：表示新的状态*r：用于控制降温的快慢*T：系统的温度，系统初始应该要处于一个高温的状态*T_min：温度的下限，若温度T达到T_min，则停止搜索*/while(TT_min){dE=J(Y(i+1))-J(Y(i));if(dE=0)//表达移动后得到更优解，则总是接受移动Y(i+1)=Y(i);//接受从Y(i)到Y(i+1)的移动else{//函数exp(dE/T)的取值范围是(0,1)，dE/T越大，则exp(dE/T)也if(exp(dE/T)random(0,1))Y(i+1)=Y(i);//接受从Y(i)到Y(i+1)的移动}T=r*T;//降温退火，0r1。r越大，降温越慢；r越小，降温越快/**若r过大，则搜索到全局最优解的可能会较高，但搜索的过程也就较长。若r过小，则搜索的过程会很快，但最终可能会达到一个局部最优值*/i++;}四.使用模拟退火算法解决旅行商问题旅行商问题(TSP,TravelingSalesmanProblem)：有N个城市，要求从其中某个问题出发，唯一遍历所有城市，再回到出发的城市，求最短的路线。旅行商问题属于所谓的NP完全问题，精确的解决TSP只能通过穷举所有的路径组合，其时间复杂度是O(N!)。使用模拟退火算法可以比较快的求出TSP的一条近似最优路径。（使用遗传算法也是可以的，我将在下一篇文章中介绍）模拟退火解决TSP的思路：1.产生一条新的遍历路径P(i+1)，计算路径P(i+1)的长度L(P(i+1))2.若L(P(i+1))L(P(i))，则接受P(i+1)为新的路径，否则以模拟退火的那个概率接受P(i+1)，然后降温3.重复步骤1，2直到满足退出条件产生新的遍历路径的方法有很多，下面列举其中3种：1.随机选择2个节点，交换路径中的这2个节点的顺序。2.随机选择2个节点，将路径中这2个节点间的节点顺序逆转。3.随机选择3个节点m，n，k，然后将节点m与n间的节点移位到节点k后面。五.算法评价模拟退火算法是一种随机算法，并不一定能找到全局的最优解，可以比较快的找到问题的近似最优解。如果参数设置得当，模拟退火算法搜索效率比穷举法要高。模拟退火算法与其python实现模拟退火算法(SimulatedAnnealing)是基于Monte-Carlo迭代求解策略的一种随机寻优算法,主要用于组合优化问题的求解。假设现在有这么一个函数：现要求其在[0,100]范围内的最小值，如果不求导计算，可能第一反应都是穷举法，把范围内每个值都算一遍再比较大小。如果求的是整数范围，那么要算100遍，但是如果要精确到小数后8位，则要算10000000000次，即便使用计算机依然是一个庞大的运算过程。而优化问题中很多都类似于问题，无法用穷举法解出答案，我们叫这类问题为NP难问题（可查看维基百科：NP-hard）。（注：NP-hard，其中，NP是指非确定性多项式（non-deterministicpolynomial，缩写NP）。所谓的非确定性是指，可用一定数量的运算去解决多项式时间内可解决的问题。NP问题通俗来说是其解的正确性能够被“很容易检查”的问题，这里“很容易检查”指的是存在一个多项式检查算法。若NP中所有问题到某一个问题是图灵可归约的，则该问题为NP-hard问题。）于是，有人提出了爬山法：但是这个方法的缺点在于最优解的产生依赖于最初值的选取，无法解决非凸函数，即容易收敛于局部最优解：同时，也无法解决有平台的函数：于是，Kirkpatrick等提出了模拟退火算法，它是一种启发式搜索算法，即按照预定的控制策略进行搜索，在搜索过程中获取的中间信息将用来改进控制策略1.模拟退火算法的原理1.1概念模拟退火算法的思想借鉴于固体的退火原理，当固体的温度很高的时候，内能比较大，固体的内部粒子处于快速无序运动，当温度慢慢降低的过程中，固体的内能减小，粒子的慢慢趋于有序，最终，当固体处于常温时，内能达到最小，此时，粒子最为稳定。模拟退火算法便是基于这样的原理设计而成。模拟退火算法从某一高温出发，在高温状态下计算初始解，然后以预设的邻域函数产生一个扰动量，从而得到新的状态，即模拟粒子的无序运动，比较新旧状态下的能量，即目标函数的解。如果新状态的能量小于旧状态，则状态发生转化；如果新状态的能量大于旧状态，则以一定的概率准则发生转化。当状态稳定后，便可以看作达到了当前状态的最优解，便可以开始降温，在下一个温度继续迭代，最终达到低温的稳定状态，便得到了模拟退火算法产生的结果。1.2状态空间与邻域函数状态空间也称为搜索空间，它由经过编码的可行解的集合所组成。而邻域函数应尽可能满足产生的候选解遍布全部状态空间。其通常由产生候选解的方式和候选解产生的概率分布组成。候选解一般按照某一概率密度函数对解空间进行随机采样获得，而概率分布可以为均匀分布、正态分布、指数分布等。1.3状态转移概率（Metropolis准则）状态转移概率是指从一个状态转换成另一个状态的概率，模拟退火算法中一般采用Metropolis准则，具体如下：其与当前温度参数T有关，随温度的下降而减小。1.4冷却进度表冷却进度表是指从某一高温状态T向低温状态冷却时的降温函数,设时刻的温度为T(t)，则经典模拟退火算法的降温方式为：而快速模拟退火算法的降温方式为：另外还有几种常用的降温函数与此相仿。1.5初始温度一般来说，初始温度越大，获得高质量解的几率越大，但是花费的时间也会随之增加，因此，初温的确定应该同时考虑计算效率与优化质量，常用的方法包括：(1)均匀抽样一组状态，以各状态目标值的方差为初温。(2)随机产生一组状态，确定亮亮状态间的最大目标值差，然后根据差值，利用一定的函数确定初温，如：其中Pr为初始接受概率。(3)根据经验公式给出1.6循环终止准则内循环终止准则：（1）检验目标函数的均值是否稳定（2）连续若干步的目标值变化较小（3）按一定的步数进行抽样外循环终止准则（1）设置终止温度（2）设置外循环迭代次数（3）算法搜索到的最优值连续若干步保持不变（4）检验系统熵是否稳定Python实现过程：下面便通过python求解开头提到的问题，首先定义函数，然后通过pyplot看看函数在[0,100]上的大致图像：from__future__importdivisionimportnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltimportmath#defineaimfunctiondefaimFunction(x):y=x**3-60*x**2-4*x+6returnyx=[i/10foriinrange(1000)]y=[0foriinrange(1000)]foriinrange(1000):y[i]=aimFunction(x[i])plt.plot(x,y)可以看到最小值大概在40左右，通过求导计算得到最小值为40.033。接下来便构造SA模型：定义初温、低温阈值并通过随机得到初始x，同时定义时刻t。通过均匀分布构造邻域函数，同时设定内循环次数为50次，降温函数使用代码实现如下：T=1000#initiatetemperatureTmin=10#minimumvalueofterperaturex=np.random.uniform(low=0,high=100)#initiatexk=50#timesofinternalcirculationy=0#initiateresultt=0#timewhileT=Tmin:foriinrange(k):#calculateyy=aimFunction(x)#generateanewxintheneighboorhoodofxbytransformfunctionxNew=x+np.random.uniform(low=-0.055,high=0.055)*Tif(0=xNewandxNew=100):yNew=aimFunction(xNew)ifyNew-y0:x=xNewelse:#metropolisprinciplep=math.exp(-(yNew-y)/T)r=np.random.uniform(low=0,high=1)ifrp:x=xNewt+=1printtT=1000/(1+t)printx,aimFunction(x)经过循环输出x与y，结果如下：多次运行：可以看到SA算法很好的逼近了最优解。