高中数学一轮复习抛物线

抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉______)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程及几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形焦点①②()－p2，0③④()0，－p2准线⑤x＝－p2⑥⑦y＝－p2⑧范围⑨x≥0，y∈R⑩○11○12y≤0，x∈R对称轴○13○14y轴顶点○15原点O(0，0)离心率○16性质开口○17○18向左○19向上○20自查自纠：1．l焦点准线2．①p2，0③0，p2⑥x＝p2⑧y＝p2⑩x≤0，y∈R⑪y≥0，x∈R⑬x轴⑯e＝1⑰向右⑳向下抛物线y＝2x2的焦点坐标是()A．18，0B．12，0C．0，18D．0，12解：由抛物线的标准方程为x2＝12y，可知p2＝18，所以焦点坐标是0，18．故选C．A(2，1)为抛物线x2＝2py(p0)上一点，则A到该抛物线的焦点F的距离为()A．32B．2＋12C．2D．2＋1解：把A(2，1)代入抛物线方程得2＝2p，得p＝1，所以A到焦点的距离为1＋12＝32，则|AF|＝32，故选A．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8解：不妨设抛物线方程为y2＝2px(p0)，点A在第一象限，点D在第二象限．根据抛物线的对称性可得点A的纵坐标为22，代入抛物线方程得x＝4p，即A4p，22．易知点D－p2，5，由于点A，D都在以坐标原点为圆心的圆上，所以16p2＋8＝p24＋5，解得p＝4，此即为抛物线的焦点到准线的距离．故选B．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．解：如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|．则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4．即|PB|＋|PF|的最小值为4．故填4．(2016·商丘二模)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝47x的准线上，则双曲线的标准方程为________．解：由题意，得ba＝32．因为抛物线y2＝47x的准线方程为x＝－7，所以c＝7，则a2＋b2＝c2＝7，得a＝2，b＝3，所以双曲线的标准方程为x24－y23＝1．故填x24－y23＝1．类型一抛物线的定义和性质(1)若抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，则|PA|＋|PF|取最小值时点P的坐标为________．解：将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6．因为6＞2，所以点A在抛物线内部，如图．设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d．当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72，此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，所以点P的坐标为(2，2)．故填(2，2)．(2)(2018·江西南昌二模)已知抛物线C1：y＝12px2(p＞0)的焦点与双曲线C2：x23－y2＝1的右焦点的连线交C1于点M(M在第一象限)，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()A．316B．38C．233D．433解：由抛物线C1：y＝12px2(p＞0)得x2＝2py(p＞0)，所以抛物线的焦点坐标为(0，p2)．由x23－y2＝1得a＝3，b＝1，c＝2．所以双曲线的右焦点为(2，0)．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为y－0p2－0＝x－20－2，即px＋4y－2p＝0．①设M(x0，x202p)(x0＞0)，则C1在点M处的切线的斜率为x0p．由题意可知x0p＝33，解得x0＝33p，所以M(33p，p6)，把M点的坐标代入①得3p23＋23p－2p＝0，解得p＝433，或p＝0(舍去)．故选D．点拨：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．另外，抛物线切线相关问题，注意应用导数工具，可避免联立，使问题简单化．(1)过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C，若|AF|＝6，BC→＝λFB→(λ＞0)，则λ的值为()A．34B．32C．3D．3解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋2＝6，解得x1＝4，y1＝±42，不妨取点A(4，42)，则直线AB的方程为y＝22(x－2)，令x＝－2，得C(－2，－82)，联立方程组y2＝8x，y＝22（x－2），解得B(1，－22)，所以|BF|＝3，|BC|＝9，所以λ＝3．故选D．(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．解：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－（－1）]2＋（0－1）2＝5．故填5．类型二抛物线的标准方程及其性质(1)已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2．若抛物线C2：x2＝2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A．x2＝833yB．x2＝1633yC．x2＝8yD．x2＝16y解：因为x2a2－y2b2＝1的离心率为2，所以ca＝2，即c2a2＝a2＋b2a2＝4，所以b2a2＝3，ba＝3．x2＝2py(p0)的焦点坐标为0，p2，x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，即y＝±3x．由题意得p21＋（3）2＝2，所以p＝8．故C2的方程为x2＝16y．故选D．(2)(2018·河北石家庄一模)已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p＞0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝855，则抛物线C2的方程为()A．y2＝85xB．y2＝165xC．y2＝325xD．y2＝645x解：由题意，知直线AB必过原点，则设AB的方程为y＝kx(易知k＞0)，圆心C1(0，2)到直线AB的距离d＝|－2|k2＋1＝22－（455）2＝255，解得k＝2．由y＝2x，x2＋（y－2）2＝4得x＝0，y＝0或x＝85，y＝165，把(85，165)代入抛物线方程，得(165)2＝2p×85，解得p＝165，所以抛物线C2的方程为y2＝325x．故选C．点拨：①求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．②在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．(1)(2016·浙江模拟)如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为()A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝3x解：如图，分别过A，B两点作AE，BD⊥准线于点E，D．因为|BC|＝2|BF|，所以由抛物线的定义可知∠BCD＝30°，且|AE|＝|AF|＝3，所以|AC|＝6．即F为AC的中点，所以p＝12|AE|＝32，故抛物线方程为y2＝3x．故选C．(2)(2016·西安模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为________．解：由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1，0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，所以点A的横坐标为2，将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，不妨令A在第一象限，则A的纵坐标为y＝22，所以A(2，22)，所以直线AF的方程为y＝22(x－1)，联立直线与抛物线的方程y＝22（x－1），y2＝4x，解得x＝12，y＝－2或x＝2，y＝22，故B(12，－2)，所以S△AOB＝12×1×|yA－yB|＝322．故填322．类型三直线与抛物线(2017·全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝x24上两点，A与B的横坐标之和为4．(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝x214，y2＝x224，x1＋x2＝4，于是直线AB的斜率k＝y1－y2x1－x2＝x1＋x24＝1．(2)由y＝x24，得y′＝x2．设M(x3，y3)，由题设知x32＝kAB＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)．设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为Nx1＋x22，y1＋y22，由x1＋x2＝4，即可得N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|．将y＝x＋m代入y＝x24得x2－4x－4m＝0．当Δ＝16(m＋1)＞0，即m＞－1时，x1，2＝2±2m＋1．从而|AB|＝2|x1－x2|＝42（m＋1）．由题设知|AB|＝2|MN|，即42（m＋1）＝2(m＋1)，解得m＝7．所以直线AB的方程为y＝x＋7．点拨：解决直线与抛物线公共点(交点)问题，与直线与椭圆、双曲线位置关系问题类似，要注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．另外，抛物线的几何性质及导数工具等的应用往往能简化运算．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．已知AB是抛物线x2＝4y的一条焦点弦，若该弦中点的纵坐标是3，则弦AB所在的直线方程是________．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝m(y－1)，由抛物线的定义及题设可得y1＋y2＝6，联立x＝m（y－1），x2＝4y，消去x可得m2y2－(2m2＋4)y＋m2＝0．所以y1＋y2＝2m2＋4m2，即6＝2m2＋4m2，可得m＝1或m＝－1．故直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0．故填x－y＋1＝0或x＋y－1＝0．1．抛物线的定义、标准方程和性质是解决有关抛物线问题的基础，应当熟练掌握．2．求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法．若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny(m≠0，n≠0)．若m＞0，开口向右；若m＜0，开口向左．m有两解时，则抛物线的标准方程有两个．对n＞0与n＜0，有类似的讨论．3．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，要看到焦点想准线(看到准线想焦点)，优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化．4．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．5．抛物线的几个常用结论(1)抛物线上的点P(x0，y0)与焦点F之间的线段长度(一般叫做抛物线的焦半径)记作r＝||PF．①y2＝2px(p＞0)，r＝x0＋