第6章--岩土的本构模型——补充版(讲课版)

第6章岩土的本构模型——版主要内容：6.1应力应变分析6.1.1应力张量6.1.2应力空间、洛德参数6.1.3应变分析6.2岩土的变形特性6.2.1岩石的应力-应变关系6.2.2土的应力－应变关系6.2.3岩土的变形特性6.2.4岩土体变形的影响因素6.3屈服准则与破坏准则6.3.1基本概念6.3.2屈瑞斯卡(Tresca)屈服准则6.3.3米赛斯(Mises)准则6.3.4摩尔－库仑准则(C-M或M-C准则)6.3.5辛克维兹－潘德准则(Z－P准则)6.3.6双剪屈服准则及广义双剪屈服准则6.3.7Griffith准则6.3.8本构理论的基本法则6.4岩土的本构模型6.4.1岩土的弹性本构模型6.4.2塑性本构模型6.4.3粘弹塑性模型6.5岩土损伤本构理论6.5.1损伤力学的概念6.5.2岩土的损伤本构理论6.6土与结构接触面模型6.6.1Goodman无厚度单元模型6.6.2Desai薄层单元模型岩土工程的数值分析，离不开岩土材料的本构关系。岩土工程问题数值分析的精度在很大程度上取决于所采用的本构模型的实用性和合理性。本构关系广义上是指自然界中某作用与由该作用产生的效应两者之间的关系。如电学中电压与电流的关系、力学中力与变形之间的关系、热学中温差与热流之间的关系、水力学中水力梯度与渗流之间的关系等。本章将要讨论的是岩土的力学本构关系，即岩土的应力－应变关系。描述岩土的本构关系的数学表达式称为岩土的本构方程，或岩土的本构模型。一般将本构模型分为以下几类：弹性模型、弹塑性模型、粘弹塑性模型、内蕴时间塑性模型和损伤模型等。要研究材料的塑性本构关系和塑性极限荷载，首先要建立材料产生屈服与破坏的条件和准则。本章将介绍各种经典的和近些年来提出的各种适于岩土类材料的屈服与破坏准则，并对这些准则从理论与实践方法上进行评价。这些准则包括屈瑞斯卡屈服准则、米赛斯准则、摩尔－库仑屈服准则、辛克维兹－潘德准则以及俞茂宏提出的双剪应力屈服与破坏准则。在实际工程中岩土体常常具有很复杂的应力－应变特性，如非线性、弹性、塑性、粘性以及剪胀性、应变硬化(软化)、各向异性等，同时应力路径、应力历史以及岩土的状态、组成、结构和温度等均对其有不同程度的影响。因此为了反映岩土体真实的力学性状，必须建立较为复杂的本构模型。而在实际工程应用中，在满足一定的精度条件下，又要求本构模型简单实用。因此，目前的本构理论研究呈现两种倾向:仅供个人学习使用，不得用于其他目的1一种是建立用于解决实际工程问题的本构模型；另一种则是比较精细的模型的研究，目的在于进一步揭示岩土体应力－应变特性的内在规律。随着近几十年来电子计算机、计算方法和土工测试技术的发展，使得较复杂的本构模型用于解决工程问题成为可能。同时，在工程实践的推动下，借助于先进的计算方法和手段，也促进了本构理论研究的快速发展。6.1应力应变分析6.1.1应力张量在直角坐标系中，一点的应力状态可以用该点的九个应力分量表示，即⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=zzyzxyzyyxxzxyxijστττστττσσ(6－1)式中，σx、σy、σz为应力的法向分量，τxy、τxz、τyx、τyz、τzx、τzy为应力的切向分量。由切应力互等性，τxy=τyx，τyz=τzy，τzx=τxz，所以九个分量中只有六个是独立的。在确定的应力状态下，应力分量的大小与坐标轴方向有关，但由弹性力学知识可知，新旧坐标的应力分量之间具有一定的转换关系，通常称这种具有特定变换关系的量为张量。式(6-1)即为一个二阶对称应力张量。在弹性力学中已证明，通过一点可以找到相互垂直的三个主平面，在这些面上切应力为零。主平面上作用的正应力就成为主应力，主应力的方向(或主平面的方向)称为主方向。对于给定的应力状态而言，其主应力的大小和方向是不变的，因此，σ1、σ2、σ3为一组应力状态的不变量。显然，由主应力组合而成的量也是应力状态的不变量。定义为⎪⎭⎪⎬⎫=++−=++=321313322123211)(σσσσσσσσσσσσIII(6－2)分别称为应力状态的第一不变量、第二不变量、第三不变量。同时根据主应力与应力状态的六个分量之间的关系，第一、第二、第三应力不变量还可以表示为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫−−−+=+++++−=++=2223222212)()(xyzzxyyxxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzyxIIIτστστστττσσστττσσσσσσσσσ(6－3)I1、I2、I3事实上是根据应力四面体的平衡条件，建立的一个特征方程的三个系数032213=−−−IIIiiiσσσ(6－4)方程的三个实根就是三个主应力，当坐标轴与主应力方向一致时，式(6-3)就简化成式(6-2)。应力张量不变量不随坐标轴的改变而改变，因而在岩土本构理论中应用较广，尤其是第一不变量I1，它表示了平均应力的大小。平均应力定义为三个主应力的平均值，用σm或p表示，即3)(31)(311321Ipzyxm=++=++==σσσσσσσ(6－5)于是，应力张量可以分解为两个分量⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=mzzyzxyzmyyxxzxymxmmmijσστττσστττσσσσσσ000000(6－6)等式右端第一个应力张量称为应力球张量，第二个应力张量称为应力偏张量。采用张量下标表示法可以将式(6-6)简化仅供个人学习使用，不得用于其他目的2ijmmmmδσσσσ=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛000000(6－7)式中⎩⎨⎧≠==时当时当jijiij01δijmijzzyzxyzyyxxzxyxmzzyzxyzmyyxxzxymxijssssssssssδσσσστττσστττσσ−=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=(6－8)表示应力偏张量。若以主应力表示点的应力状态，其应力张量可做如下分解⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛mmmmmmσσσσσσσσσσσσ321321(6－9)图6-1应力张量的分解如图6-1所示，应力球张量表示各向等压状态，即静水压力状态，应力偏张量是应力张量与静水压力之差，si=σi-σm，称为应力偏量的主值。在传统塑性理论中，认为静水压力不影响屈服，即塑性变形与静水压力无关，而只与应力偏量有关，但岩土材料的实验表明，塑性变形既与应力偏张量有关，也与应力球张量有关。传统塑性理论也认为应力球张量只产生体积应变，而应力偏张量只产生形状应变，而事实上，应力球张量与形状应变、应力偏张量与体积应变都存在藕合作用。式(6-8)中的偏应力张量也是一个二阶对称张量，可以同样地得到偏应力张量的三个不变量，特征方程为032213=−−−JsJsJs(6－10)式中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫=+++++−==zzyzxyzyyxxzxyxzxyzxyxzzyyxsssssssssJsssssssssJJ322221)(0(6－11)分别称为应力偏张量的第一、第二、第三不变量。当取坐标轴与主应力方向一致时，式(6-11)简化为仅供个人学习使用，不得用于其他目的3⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==++−==++=32131332212321121)(0sssJssssssssJsssJijij(6－13)在弹塑性本构关系中，J2反映了切应力的大小，J3表示切应力的方向。为了将复杂应力状态与简单应力状态相联系，工程中常用广义切应力或应力强度来表示一点的应力状态。广义切应力q或应力强度σe定义为22132322213)])()()[(2121Jqe=−+−+−==σσσσσσσ(6－13)当单向拉伸时，σ2=σ3=0，则q=σ1与单向应力相等，故也将q称作等效应力。在常规三轴试验中，σ2=σ3，此时，式(6-13)简化为31σσ−=q(6－14)即广义切应力就等于主应力差。因此，岩土力学中常用p－q坐标系来整理试验成果和表示土体的屈服和破坏规律及本构关系。补充：八面体应力和应变将坐标系的三个轴顺着三个主应力方向放，分别以1，2，3表示，如图所示。再对这个坐标系的8个挂限分别作等倾面。8个挂限的等倾面围成了一个正八面体。这些等倾面叫八面体面。根据力的平衡关系可以推得正八面体面上的正应力和剪应力分别为)(31321σσσσ++=oct()()()21323222131σσσσσστ−+−+−=oct剪应力τoct作用在八面体面上还有个方向问题。这决定于中主应力σ2接近大主应力σ1还是小主应力σ3。与应力相应，还有八面体面上的应变，正应变和剪应变分别为)(31321εεεε++=oct213232221)()()(32εεεεεεγ−+−+−=oct6.1.2应力空间、洛德参数假设材料是各向同性的，可以采用由三个主应力轴构成的空间坐标系即应力空间来研究问题，由此可以获得直观的几何图像。仅供个人学习使用，不得用于其他目的4图6-2应力空间（子午面、子午线？）如图6-2所示，岩土体中一点的应力状态总与应力空间中坐标为(σ1、σ2、σ3)的一点Q对应，原点O与该点的连线OQ称为该点的应力矢量，表示土体中相应点的应力的大小和方向。在主应力空间中，将重点研究空间对角线(等压线)及π平面上的应力状态及表示方法。在主应力空间中，通过原点O且与三个坐标轴夹角相等的线称为等倾线，其方向余弦均为3/1，在等倾线上有，σ1=σ2=σ3=σm，因此又称等倾线为等压线。把应力空间中垂直于等倾线的平面称为偏平面，由定义可知偏平面方程为r3321=++σσσ(6－15)式中r表示原点到偏平面的距离。当r=0时，式(6-15)代表一个通过坐标原点的偏平面，称作π平面。π平面在岩土本构关系研究中具有重要的意义。将应力矢量向π平面和等倾线上投影，可以得到应力矢量的两个分量，如图6-2所示，在等倾线上的投影pIrOOm3331)(311321'===++==σσσσ(6－16)可以把OO'称为作用在π平面上的正应力分量记作σσ，它与应力球张量对应。应力矢量在π平面上的投影qJrOQQO322])()()[(31])(31[22121323222121232123222122'==−+−+−=++−++=−=σσσσσσσσσσσσ(6－27)称为π平面上的切应力分量，用τσ表示。图6-3所示反映了各应力分量间的关系。仅供个人学习使用，不得用于其他目的5图6-3偏平面与π平面a)偏平面或π平面b)偏平面与应力主轴的关系为了表述应力偏量的作用形式，通常采用应力偏量的特征量洛德(Lode)角θσ或洛德参数μσ，它们都可以用来确定应力偏量在π平面上的位置。如图6-3所示，应力偏量与σ'2轴的垂线间的夹角即为洛德角θσ。根据偏应力张量的特征方程式(6-10)可以求出θσ与偏应力不变量J2、J3关系3232333sinJJ−=σθ(6－18)由式(6-18)可知，sin3θσ，变化周期为±π/2，所以θσ的变化范围为66πθπσ≤≤−(6－19)因此可以得到θσ的三个主值：θσ、θσ+π/3、θσ-π/3相应的得到三个偏主应力⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫−==+=)32sin(32sin32)32sin(32232221πθθπθσσσJsJsJs(6－20)应力洛德参数μσ定义为)(21)(21)(23131231312231σσσσσσσσσστττμσ−+−=−+−=−−=(6－21a)洛德参数的物理与几何意义可以较直观的从应力圆上反映出来，如图6-4所示。仅供个人学习使用，不得用于其他目的6图6-4应力圆与洛德参数μσ代表了一点的三个主切应力的相对比值的大小，在应力圆上，表示σ2至大圆中心坐标的距离σ2-(σ1+σ3)/2与大圆半径(σ1-σ3)/2的比值。μσ反映了σ2对应力状态的影响，其变化范围为－1≤μσ≤＋1。它与洛德角的关系为σσθμtan3=(6－21b)6.1.3应变分析一点的应变状态也可以表示成应变张量的形式⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=zzyzxyzyyxxzxyxijεγγγεγγγεε212121212121(6－22)式中εi为坐标轴方