计算机视觉中的多视图几何第一章-2-D射影几何和变换

第1章2D射影几何和变换平面几何射影几何点齐次表示：直线二次曲线ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0平行线平行直线无交点点齐次表示:直线齐次表示:二次曲线其中二次曲线系数矩阵c：平行线平行直线交与理想点无穷远线所有理想点的集合0cxxTTxxx),,(321xTcba),,(lfedecbdba2/2/2/2/2/2/c),(yx0cbyax1.1平面几何与射影几何的对比：1.22D射影平面Tyx)0,,(lT)1,0,0(0lxTllxxxl1.2.1点与直线：结论1.1：点X在直线L上的充要条件是：结论1.2：两直线L和L’的交点是点X：结论1.3：过两点X和X’的直线L是：1.2.2理想点与无穷直线理想点的齐次表示:无穷直线的齐次表示：=射影平面的模型：oxlπ理想点2x3x1x结论1.4：对偶原理2维射影集合中的任何定理都有一个对应的对偶定理，它可以通过互换定理中的点和线的作用而导出。射影平面的模型。IP²的点和线分别表示为过IR³中过原点的射线和平面。X1X2-上的射线表示理想点，而x1x2-平面表示l1.2.3二次曲线与对偶二次曲线二次曲线的切线：cxl结论1.5过（非退化）二次曲线C上点X的切线L由对偶二次曲线：结论1.6：对偶二次曲线C的切线L由0*lclT非退化二次曲线非满秩矩阵C所定义的二次曲线称作退化二次曲线，退化的点二次曲线包含两条线（秩2）或一条重线（秩1）。1.3射影变换定义1.7射影映射是IP²到它自身的一种满足下列条件的可逆映射h：三点x1，x2和x3共线当且仅当h(x1),h(x2)和h(x3)也共线。射影映射组成一个群。定理1.8映射h：IP²→IP²是射影映射的充要条件是：存在一个3X3的非奇异矩阵H，使得IP²的任何一个用矢量X表示的点都满足h（X）=HX。定义1.9射影变换就是X’=HX1.3.1直线与二次曲线的变换直线的变换：lHlT二次曲线的变换：在点变换X’=HX下，1HHTcc结论1.10在点变换X’=HX下，对偶二次曲线变化为*CTHHCC**1.4变换的层次等距变换相似变换仿射变换射影变换射影变换的层次图等距变换失真情况1.4.2相似变换相似变换的矩阵表示：1100cossinsincos1yxtsstssyxyx简洁的分块形式写成：xosRxHxTS1t其中s为缩放量，。等距变换的不变性质：长度，面积相似变换就是在等距变换的基础上进行了一个S的缩放。相似变换失真情况相似变换的不变性质：长度比，夹角，虚圆点。1.4.3仿射变换仿射变换是一个非奇异线性变换与一个平移变换的复合。它的矩阵表示为：1100122211211yxtaataayxyx它的分块形式：x1tAxxT0AH可以把仿射变换中A看作两个基本变换——旋转和非均匀缩放的复合。仿射变换的失真情况仿射变换的不变性质：平行，面积比，共线线段或平行线段的长度比，矢量的线性组合1.4.4射影变换射影变换的分块形式：xvtAxHxTPv射影变换是在仿射变换的基础上进行的非线性的缩放。它的不变性质：共点，共线，接触的阶：相交；相切；拐点；切线不连续性和歧点。交比。1.51D射影几何交比交比是射影不变量。给定4个点，交比定义为：ix42314321)(xxxxxxxxCross4321x,x,x,x在任何直线的射影变换下，交比的值不变：如则：xHx2X2),,,(),,,(43214321xxxxCrossxxxxCross1.6从图像恢复仿射和度量性质1.6.1无穷远线l1001001AtoAlHlTTTTA结论1.11由上式可知在射影变换H下，无穷远直线为不动直线的充要条件是H是仿射变换。1.6.3虚圆点及其对偶在相似变换下，无穷远直线上有两个不动点，它们是虚圆点I,J，其标准坐标是：oioi11JI结论1.12在射影变换H下的，虚圆点I和J为不动点的充要条件是H是相似变换。01100cossinsincositsstssyxIHIsI01isei与虚圆点对偶的二次曲线二次曲线TT*JIIJC与虚圆点对偶。这条曲线是由虚圆点构成的退化的线二次曲线。*TS*S'*CHCHCT*'*HHCCxHxS因为对偶二次曲线变换遵循结论，可以验证在点相似变换下：结论1.13对偶二次曲线在射影变换H下不变的充要条件是H是相似变换。*C1.6.4射影平面上的夹角结论1.13一旦二次曲线在射影平面上被辨认，那么欧氏角可以测量，公式为：*C))((cos***mCmICImCITTT结论1.14如果，则直线I和m正交。0mCI*T1.6.5由图像恢复度量性质结论1.15在射影平面上，一旦被辨认，那么射影失真可以矫正到相差一个相似变换。*C1.7二次曲线的其他性质1.7.1极点-极线关系点X和二次曲线C定义一条直线L=CX。L称为X关于C的极线，而点X称为L关于C的极点。xcl如果点在C上，则它的极线就是二次曲线过点X的切线。1.8不动点与直线λeHe变换的一个特征矢量对应一个不动点，由下面的公式可知：同理变换的一个特征矢量对应一个不动直线：λllHT谢谢！