二元函数的积分中值定理的探究

楚雄师范学院本科论文（设计）目录摘要................................................................................I关键词..............................................................................IAbstract...........................................................................IIKeywords..........................................................................II前言................................................................................11预备知识...........................................................................11.1相关定理.........................................................................12多元函数积分中值定理的各种形式....................................................22.1曲线积分中值定理的推广..........................................................22.1.1第一型曲线积分中值定理.........................................................22.1.2第二型曲线积分中值定理.........................................................42.2二重积分中值定理的探究及推广.....................................................52.3曲面积分中值定理的探究及推广.....................................................72.3.1第一型曲面积分中值定理.........................................................72.3.2第二型曲面积分中值定理.........................................................7结论................................................................................9参考文献...........................................................................10致谢...............................................................................11楚雄师范学院本科论文(设计)I摘要：积分中值定理是数学分析的重要定理，我们主要讨论了二元函数的曲线、重积分、曲面的各种形式中值定理，而且还给出了这些定理的证明过程，最后总结出各类积分中值定理的形式.关键词：积分中值定理；第二中值定理；曲线积分中值定理；二重积分中值定理；曲面积分中值定理楚雄师范学院本科论文(设计)IIStudyonmean-valuetheoremsforRiemann-StieltjesintegralsoffunctionsoftwovariablesAbstract:Mean-valuetheoremsforintegralsareoneoftheoremsinmathematicalanalysis.Inthispapermean-valuetheoremforRiemann-Stieltjesintegralsoffunctionsoftwovariablesarediscussed.Weobtainallkindsofmean-valuetheoremsforintegralswhichincludecurvilinear,multipleandsurfaceintegrals.Finally,theproofsofmean-valuetheoremsaregiven.Keywords:mean-valuetheoremintegral;secondmean-valuetheorems;curvilinearintegral;multipleintegrals;surfaceintegrals楚雄师范学院本科论文(设计)1二元函数的积分中值定理的探究前言积分中值定理是微积分中的一个重要定理，主要包含一元函数及多元函数的积分中值定理，它在数学分析中占有很重要的地位.但是许多文献，对于多元函数的曲线积分、曲面积分、重积分的中值定理的探究相对较少或相对浅略.基于这个理由，我们将借鉴一元函数的第一、第二积分中值定理的研究方法及思想，在文献[1-6]的基础上，主要讨论二元函数的积分中值定理在曲线、曲面、重积分情形上是否成立，通过研究该课题，进一步完善积分中值定理的相关理论.1预备知识1.1相关定理定理1[5]假设M和m分别为函数()fx在区间[,]ab上的最大值和最小值，且()fx在区间[,]ab上可积，则有()()()bambafxdxMba()ab成立.定理2[5](一元函数的介值性定理)设函数()fx在闭区间[,]ab上连续.并且函数()fa与()fb函数不相等.如果是介于()fa和()fb之间的任何实数()()fafb或()()fafb，则至少存在一点0x，使得0()fx成立，其中0(,)xab.定理3[5](二元函数的介值性定理)设函数f在区域2DR上连续，若12,PP为D中任意两点，且12()()fPfP，则对任何满足不等式12()()fPfP的实数，必存在点0pD，使得0()fP.定理4]3[（定积分中值定理）如果函数()fx在闭区间[,]ab上连续，则在区间[,]ab上至少存在一个点，使下式()()()bafxdxfba()ab成立.楚雄师范学院本科论文(设计)2定理5]3[（推广的第一积分中值定理）如果函数()fx在闭区间[,]ab上连续，()gx在(,)ab上不变号，并且()gx在[,]ab上是可积的，则在[,]ab上至少存在一点，使得()()()()bbaafxgxdxfgxdx()ab成立.定理6]3[（积分第二中值定理）如果函数()fx在闭区间[,]ab上可积，而()gx在区间(,)ab上单调，则在[,]ab上至少存在一点，使下式成立()()()()()()bbaafxgxdxgafxdxgbfxdx定义1[6]设平面光滑曲线L:(),(),[,]xxtyytt，两端点为((),())Axy和((),())Bxy.若()xt在[,]上不变号，称曲线L关于坐标x是无反向的.若()yt在[,]上不变号，称曲线L关于坐标y是无反向的.2多元函数积分中值定理的各种形式受文献[1],文献[2]的启发，本文主要对曲线积分的三种形式，二重积分及曲面积分的三种形式的中值定理进行探讨.2.1曲线积分中值定理的推广首先对曲线积分中值定理进行探讨，在本文中只讨论曲线C:(),(),[,]xxtyytt为参数方程的情形，而对于曲线C为直角坐标形式及其它形式的积分中值定理类似地可得到.2.1.1（第一型曲线积分中值定理）定理7如果函数(,)fxy在光滑有界曲线C:(),(),[,]xxtyytt上连续，则在曲线C上至少存在一点(,).使(,)(,)CfxydsfS成立，其中Cds为曲线C的弧长，并且CdsS.证明因为函数(,)fxy在光滑有界闭曲线C上连续，所以22(,)((),())()()Cfxydsfxtytxtytdt记22()((),()),()()()FtfxtytGtxtyt由已知条件知()Ft在[,]上连续，()Gt在[,]上连续且非负，则根据推广的第一积分中值定理，0[,]t，00(,)((),())xtyt使2222(,)((),())()()(,)()()(,)CfxydsfxtytxtytdtfxtytdtfS成立.即(,)(,)CfxydsfS从而命题得证.在数学分析等文献中仅仅阐述了定理7，而对两个函数乘积的曲线积分中值定理未提到，下面我们将对其探究证明,并进行推广.楚雄师范学院本科论文(设计)3定理8]1[如果函数(,),(,)fxygxy在光滑有界曲线C(),(),[,]xxtyytt上连续，(,)gxy在C上不变号，则在曲线C上至少存在一点(,)，使(,)(,)(,)(,)CCfxygxydsfgxyds成立.证明由于22(,)(,)((),())((),())()()Cfxygxydsfxtytgxtytxtytdt，由条件知,(,)gxy在C上不变号，则22((),())()()gxtytxtyt在[,]上不变号，(,),(,)fxygxy又在C上连续，由此可知22((),())((),())()()fxtytgxtytxtyt在[,]上也连续.由定理7可知0[,]t，使得00(,)((),())xtyt,有以下式子222200((),())((),())()()((),())((),())()()fxtytgxtytxtytdtfxtytgxtytxtytdt成立.即(,)(,)(,)(,)CCfxygxydsfgxyds从而命题得证.定理9如果函数(,),(,)fxygxy在光滑有界闭曲线(,)CAB:(),()xxtyyt,[,]t上连续可积，(,)gxy在C上不变号,其中min(,)mfxy,max(,)Mfxy，其中(,)xyC.则在曲线(,)CAB上至少存在一点O,把曲线(,)CAB分为曲线1(,)CAO和曲线2(,)COB,使得12(,)(,)(,)(,)(,)(,)CCAOCOBfxygxydsmgxydsMgxyds成立.证明由定理8知(,)(,)(,)(,)CCfxygxydsfgxyds，记(,)fk，则有mkM.记12(,)(,)(,)(,)(,)CAOCOBCQkgxydsmgxydsMgxydsQ是关于点(,)Oxy的函数.(1)当(,)0Cgxyds时，显然成立.（2）当(,)0Cgxyds,当1CC时，则有1(,)(,)(,)()(,)CAOCCQkgxydsmgxydskmgxyds；由于0km，，于是有1(,)(,)(,)()(,)0CAOCCQkgxydsmgxydskmgxyds即12(,)(,)(,)(,)(,)0CAOCOBCQkgxydsmgxydsMgxyds.当2CC时，则有楚雄师范学院本科论文(设计)41(,)(,)(,)()(,)CAOCCQkgxydsMgxydskMgxyds；由于0kM，(,)0Cgxyds，于是有1(,)(,)(,)()(,)0CAOCCQkgxydsMgxydskMgxyds