3.1.1方程的根与函数的零点知识点归纳与练习(含详细答案)

第1页第三章函数的应用§3.1函数与方程3．1.1方程的根与函数的零点课时目标1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系函数图象判别式Δ0Δ＝0Δ0与x轴交点个数____个____个____个方程的根____个____个无解2.函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把________________叫做函数y＝f(x)的零点．3．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0__________⇔函数y＝f(x)的图象______________⇔函数y＝f(x)__________．4．函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内________，即存在c∈(a，b)，使得__________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．归纳总结：1．方程的根与方程所对应函数的零点的关系(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．2．并不是所有的函数都有零点，如函数y＝1x.3．对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然当它通过零点时函数值没有变号．第2页一、选择题1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c0，则函数的零点个数是()A．0个B．1个C．2个D．无法确定2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是()A．若f(a)f(b)0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0B．若f(a)f(b)0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0C．若f(a)f(b)0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0D．若f(a)f(b)0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝03．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0，－12B．0，12C．0,2D．2，－124．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)5．函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x0零点的个数为()A．0B．1C．2D．36．已知函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则实数b的取值范围是()A．(－∞，0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2，＋∞)题号123456答案二、填空题7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．8．函数f(x)＝lnx－x＋2的零点个数为________．9．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个实根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________．x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋212345第3页三、解答题10．证明：方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．11．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．能力提升12．设函数f(x)＝x2＋bx＋c，x≤0，2，x0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x的解的个数是()A．1B．2C．3D．413．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．第4页第三章函数的应用§3.1函数与方程3．1.1方程的根与函数的零点知识梳理1．210212.使f(x)＝0的实数x3.有实数根与x轴有交点有零点4.连续不断f(a)·f(b)0有零点f(c)＝0作业设计1．C[方程ax2＋bx＋c＝0中，∵ac0，∴a≠0，∴Δ＝b2－4ac0，即方程ax2＋bx＋c＝0有2个不同实数根，则对应函数的零点个数为2个．]2．C[对于选项A，可能存在根；对于选项B，必存在但不一定唯一；选项D显然不成立．]3．A[∵a≠0,2a＋b＝0，∴b≠0，ab＝－12.令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝ab＝－12.]4．C[∵f(x)＝ex＋x－2，f(0)＝e0－2＝－10，f(1)＝e1＋1－2＝e－10，∴f(0)·f(1)0，∴f(x)在区间(0,1)上存在零点．]5．C[x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3.x0时，f(x)＝lnx－2在(0，＋∞)上递增，f(1)＝－20，f(e3)＝10，∵f(1)f(e3)0∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．总之，f(x)在R上有2个零点．]6．A[设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则由f(0)＝0可得d＝0，f(x)＝x(ax2＋bx＋c)＝ax(x－1)(x－2)⇒b＝－3a，又由x∈(0,1)时f(x)0，可得a0，∴b0.]7．30解析∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.8．2解析该函数零点的个数就是函数y＝lnx与y＝x－2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y＝lnx与y＝x－2的图象如下图：由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f(x)＝lnx－x＋2有2个零点．9．1解析设f(x)＝e2－(x＋2)，由题意知f(－1)0，f(0)0，f(1)0，f(2)0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k＝1.10．证明设f(x)＝x4－4x－2，其图象是连续曲线．因为f(－1)＝30，f(0)＝－20，f(2)＝60.所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．第5页从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．11．解令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.依题意得m0f40或m0f40，即m026m＋380或m026m＋380，解得－1913m0.12．C[由已知16－4b＋c＝c，4－2b＋c＝－2，得b＝4，c＝2.∴f(x)＝x2＋4x＋2，x≤0，2，x0.当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x，即x2＋3x＋2＝0，∴x＝－1或x＝－2；当x0时，方程为x＝2，∴方程f(x)＝x有3个解．]13．解设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1.∵方程f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴f00f10f20，即2k－101＋k－2＋2k－104＋2k－4＋2k－10∴12k23.